Теория множеств и элементы логики

Теория множеств и элементы логики — это такая область математики, где изучаются ключевые понятия и закономерности, напрямую связанные с различными множествами и логическими операциями над ними.
Применение данной теории можно найти в различных областях науки и техники, например, в информатике, экономике, физике, статистике и других. Множества и логика являются основой для решения многих теоретических и практических заданий из самых разных математических дисциплин.
Множества и логика взаимосвязаны. Без применения логического мышления не получиться составить множества, а без множеств не выйдет решить многие задачи на логику. Задания по данному разделу часто встречаются на едином национальном тестировании. Поэтому предлагаю вам внимательно ознакомиться с данной теорией.

Множество и его основополагающие понятия.
Естественно термин “множество” произошел от слова “много”. На первый взгляд могло показаться, что множество просто объединяет много каких-то предметов или явлений. Но на деле это не так.
Множество — это ничто иное, как совокупность объектов, отобранных по определенному общему признаку.
Например, может быть множество букв, множество зеленых фигур и так далее.
Множество принято обозначать заглавными буквами А, В, С и другими. Предметы, входящие в наши множества на письме отмечают строчными буквами а, b.
Для того чтобы обозначить из каких объектов состоит любое множество, используют фигурные скобки. Выглядит это так: А = {а, b, c, d, e}.
Как обозначить все элементы мы поняли. Но как в письменных работах дать знать, что какой-то конкретный объект являются частью нашего множества ? Запись делается таким образом: «с ∈ А».
Знак «∈» обозначает принадлежность. Выходит, что пометки по типу «с ∈ А» читаются как «объект с принадлежит множеству А”.
С учетом вышесказанного легко догадаться, что знак “∉” обозначает, что элемент не принадлежит множеству.
Давайте повторим это и лучше запомним, сделав простое задание.
Пример. Принадлежат ли 6 и 8 к множеству делителей числа 36 ?
Решение. Обозначим наше множество буквой A. Теперь определим какие числовые значения в него входят. Делители числа 36: 1, 36, 2, 18, 3, 12, 6, 9, 4.
Делаем запись А = {1, 36, 2, 18, 3,12, 6, 9, 4}. Замечаем, что среди делителей есть 6, но отсутствует 8.
Ответ: 6 ∈ А, 8 ∉ А.
Множества чисел.
Ярким примером множеств в математике являются множества чисел. Можно выделить несколько их видов.
1) Натуральные. Обозначаются буквой N. К ним относятся те, числа которые принято использовать при счете.
2) Целые — Z. Представлены нулем, целыми положительными и целыми отрицательными числами. Выходит, что они включают в себя множество N.
3) Рациональные — Q. К ним относятся N, Z и дроби (конечные десятичные, периодические и обыкновенные)
4) Иррациональные — I. Это такие числа, которые мы не в силах представить в виде дроби. Например, π и е.
5) Действительные — R. Включают в себя N, Z, Q и I.

Логические операции над множествами.
Работая с разными множествами, нам необходимо будет делать над ними определенные математические операции, которые построены на элементарной логике.
Пересечение множеств.
В глазах обывателей пересечение — это столкновение, скрещение, наложение друг на друга каких-то объектов и явлений. Такой смысл очень близок к тому значению, которым теория множеств наделяет данный термин.
Пересечением нескольких множеств является часть элементов, входящих в каждое из данным нам множеств.
Пересечение обозначается следующим знаком «∩».
Пример. У нас есть два множества С и D. Множество С представлено числами из интервала от 7 до 15. В множество D входят четные числа в ряду [8;15]. Найдем пересечение данных двух множеств.
Решение. Делаем две записи. С = {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
D = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
Теперь выделяем общие элементы, т.е. такие числа, которые встречаются и там, и там.
Получим: 8, 10, 12, 14.
Ответ: С ∩ D = {8, 10, 12, 14}.

Объединение множеств.
Обычно для математиков «объединение» равняется сумме, сложению. При работе с теорией множеств такое понимание не будет являться ошибочным.
Объединение множеств подразумевает собой совокупность элементов, принадлежащих каждому из тех множеств, что мы объединяем.
В письменных работах знак объединения имеет вид «∪».
Пример. Даны 3 множества: E, F и G. Множество Е составляют четные числа в промежутке от 6 до 10. Совокупность элементов F представлена нечетными числами в ряду [1; 10]. А множество G состоит из простых чисел на том же интервале, что и множество Е.
Решение. Определим какие элементы входят в каждое из данных множеств и сделаем записи. E = {6, 8, 10}
F = {1, 3, 5, 7, 9,}
G = {2, 3, 5, 7}
Представим наше объедение таким образом: E ∪ F ∪ G = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Ответ: E ∪ F ∪ G = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

Разность множеств.
Со стандартным понятием «разность» знаком каждый из нас. Однако в теории множеств данный термин обретает чуть другой смысл.
Разностью множеств считаются такие объекты, которые являются частью только одного из данным нам множеств.
Разность обозначают знаком «\». Запись подобного рода «В \ С» означает, что мы должны найти элементы, входящие лишь в множество В.
Пример. Существуют 2 множества. S = {1, 4, 7, 10, 13, 16} и W = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}. Вычислите S \ W и W \ S.
Решение. 1) S \ W. Множество S записано первым значит будем искать только его элементы. Исключим числа, входящие в обе совокупности {4,10,16}. Значит, S \ W = {1, 7, 13}
2) W \ S. Помня наши исключения, ищем то, что относятся только к множеству W. W \ S = {2, 6, 8, 12, 14}
Ответ: S \ W = {1, 7, 13}, W \ S = {2, 6, 8, 12, 14}.
Симметричная разность.
При выведении теории множеств решили, что одной разности мало. Поэтому ещё появилось такое понятие как «симметричная разность«. Для пущего эффекта ее еще приняли обозначать в виде треугольника «∆». Давайте же узнаем, что это за герой такой.
Симметричная разность представлена рядом, в который входят элементы, являющиеся частью только одного из множеств, данный ряд исключает любые объекты, являющиеся общими(т.е. входящие в каждое из множеств)
Пример. Множеств А представлено числами от 1 до 7. А множество B состоит из интервала [5; 10]. Найдите А ∆ В.
Решение. Найдем все элементы каждой из совокупности.
А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
В = {5, 6, 7, 8, 9, 10}
Выделим одинаковые числа: 5, 6, 7. Получается именно эти объекты не будут входить в разность наших множеств. Таким образом, А ∆ В = {1, 2, 3, 4, 8, 9, 10}.
Ответ: А ∆ В = {1, 2, 3, 4, 8, 9, 10}.
Запомним противоположность наших понятий с помощью ассоциации с фильмом «Первый мститель противостояние» из известной и популярной киновселенной Марвел.

Первой парой антиподов будут разность и объединение. Потому что разность представляет собой элементы только одного множества, а объедение состоит из элементов всех множеств.
Второй парой противоположностей будут пересечение и симметричная разность. Пересечение это совокупность общих элементов, а симметричная разность наоборот состоит из всех элементов, кроме общих.
Диаграмма Эйлера-Венна.
Два ученых Леонардо Эйлер и Джон Венна в разное время разработали геометрические методы отображения множеств и их «взаимодействий». Несмотря на то, что Д. Венна придумал свой способ, опираясь на уже сделанную Эйлером работу, диаграмму, которую обычно сегодня используют, назвали в честь каждого из них.
Диаграмма Эйлера-Венна представляет множества как круги, которые пересекаясь образуют подмножества, характеризующие отношения между совокупностями. Получается данная схема, выступает в роли некоего «семейного психолога», помогающего нам установить закономерности множеств и провести некоторые логические операции.

Давайте составить диаграмму Эйлера-Венна и попробуем с ее помощью решить один пример.
Задание. Дан числовой ряд от 1 до 24. Из данного ряда составили два множества. Множество А представлено числами, которые делятся на 2, а множество В — числами, которые делятся на 3. Вычислите симметричную разность данных множеств.
Решение. Поскольку мы знаем, что есть числа, которые делятся и на 2, и на 3, мы должны начертить два круга, которые пересекаются. Часть, где круги пересекаются, будет местом для общих чисел.

Обозначаем наши круги буквами А и В. Затем вписываем в них подходящие числа.


Находим числа, которые встречаются и там, и там, вносим их в нужную часть. Получаем:

Вспоминая, что такое симметричная разность, вычислим ее. А ∆ В = {2, 4, 8, 10, 14, 16, 3, 9, 15}
Ответ: А ∆ В = {2, 4, 8, 10, 14, 16, 3, 9, 15}.
Заключительная таблица.
Пересечение | А ∩ В | общие элементы | ![]() |
Объединение | А ∪ В | элементы всех множеств | ![]() |
Разность | А \ В | элементы одного множества | ![]() |
Симметричная разность | А ∆ В | все элементы, кроме общих | ![]() |

Практическая часть.
Задание №1. Найдите Q \ P, если известно, что множество Q включает в себя все числа от 1 до 13. А множество P состоит из интервала [7; 15].
Решение. Выходит, что Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}, P = {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}. Можно начертить диаграмму или просто с помощью числового ряда «раскидать» наши числовые значения по множествам и подмножествам.
Общие элементы: {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}.
Тогда получаем, Q \ P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Ответ: Q \ P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Задание №2. Найдите все возможные пересечение между данными тремя совокупностями. Множество А представлено числами из ряда [1; 24], делящимися на 4. Множество В состоит из чисел того же ряда, но уже делящихся на 2. А третье множество С включает в себя числа данного отрезка, делящиеся на 3.
Решение. Чертим диаграмму из 3 кругов, каждый из которых подписываем.

А = {4, 8, 12, 16, 20, 24}
В = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}
С = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24}
Выделим те числа, которые можно делить и на 4, и на 2, на 3. Получим {12,24}.
Теперь исключая данные значения, найдем те, что делятся на 4 и на 2. {4,8,16,20}.
А сейчас определим числа, которые можно поделить на 2 и на 3, исключая выше приведенные значения. Выйдет {6, 18}.
Вносим полученные данные в нужные подмножества.

А оставшиеся значения «раскидываем» по множествам А, В и С. И в итоге получаем следующее:

Таким образом, А ∩ В ∩ С = {12, 24},
А ∩ В = {4, 8, 16, 20},
В ∩ С = {6, 18}
Ответ: А ∩ В ∩ С = {12, 24}, А ∩ В = {4, 8, 16, 20}, В ∩ С = {6, 18}.
Задания по данному разделу, которые встречаются на ЕНТ.
Задания по теории множеств и на элементы логики присутствуют только в разделе “математическая грамотность”. Но поскольку каждый балл на тестировании дорог, необходимо ознакомиться с типами задач, с которыми можно столкнуться на ЕНТ.
Задание №1. Среди 40 школьников провели опрос насчёт трёх произведений, изученных на уроках литературы. «Отцы и дети», «Горе от ума» и «А зори здесь тихие…». Подводя результаты опроса стало известно, что троим 3 ученикам одинаково понравились все из перечисленных книг. Повести «А зори здесь тихие» стала фаворитом 23 учеников, 4 из которых также любят «Отцы и дети», а 2 ещё дополнительно отметили произведение «Горе от ума». Всего насчитали 18 любителей произведения «Отцы и дети», из них 6 при опросе указали по 2 произведения. Сколько всего человек выбрали комедию «Горе от ума» ?
Решение. Необходимо начертить диаграмму и внимательно расставлять значения.
В центр диаграммы ставим 3.
В область с пересечением между «А зори здесь тихие» и «Отцы и дети» впишем 4.
В общую площадь «Горе от ума» и «А зори здесь тихие» внесем 2.

Теперь от 23 фанатов «А зори здесь тихие» отнимем 4, 3 и 2, для того чтобы найти сколько человек выбрали только это произведение. 23 — 3 — 4 — 2 = 14. Запишем.

Вспомним, что 6 любителей «Отцы и дети» выбрали по два произведения. 4 мы уже отметили в смежной области с «А зори здесь тихие», выходит, что осталось еще двух указать в общую площадь с произведением «Горе от ума», ведь 6 — 4 = 2.
Сейчас найдем тех, кто выбрал только «Отцы и дети». Для этого от общего числа любителей отнимем 4, 3 и 2.
18 — 4 — 3 — 2 = 9. Пишем.

Теперь от 40 отнимаем все полученные значения для того чтобы найти сколько проголосовало только за «Горе от ума»
40 — (14 + 2 + 3 + 4 + 9 + 3)= 6.

Теперь сложим все числа, которые охватывает круг «Горе от ума» 6 + 2 + 2 + 3 = 13
Ответ: 13.
Задание №2. Ученики 9 классов ходят на дополнительные занятия для подготовки к экзаменам. Всего дополнительно занимается 51 человек. 38 из них посещают консультации по истории, а 33 — казахский язык. Определите сколько учеников занимаются и тем, и тем ?
Решение. Прочитав условия задачи мы понимаем, что нам нужно найти пересечение двух множеств. Для решения такого рода задач есть небольшой алгоритм.
А ∩ В = А + В — (А ∪ В)
Получается для того, чтобы найти учеников, посещающих и историю, и казахский язык, мы должны прибавить учащихся, которые занимаются казахским, к тем, кто учит историю, а после отнять общее количество учеников.
38 + 33 — 51 = 20
Ответ: 20.
Задание №3. Группа друзей выучила в целом 16 билетов. Известно, что Оля и Соня выучили 4 одинаковых билета. Дополнительно Оля сама еще вызубрила 5 карточек. А Соня смогла самостоятельно изучить лишь 1 билет. Определите сколько билетов выучил Егор, если известно, что вся троица выучила 2 билета.
Решение. Начертим 3 круга. Зам внесем известные нам данные в диаграмму как мы это делали в первом задании.

Мы понимаем, что Егор точно выучил 2 билета, ведь об этом идет речь в условиях задачи.
Для того чтобы найти сколько всего он изучил необходимо от 16 отнять то, количество билетов, которые мы указали в кругах, кроме данных 2.
16 — (1+4+5) = 16 — 10 = 6
Получается Егор всего выучил 6 билетов.
Ответ: 6.
Задания для самопроверки:
Задание 1
В компании работает 90 сотрудников. 56 прекрасно владеют казахским языком, а 49 хорошо знают английский. Также известно, что 32 человека отлично знают оба языка. Определите сколько специалистов не владеют ни казахским, ни английским.
Задание 2
Определите сколько первокурсников, если мы знаем, что 19 из них любят смотреть фантастические фильмы, 25 обожают кино на военную тематику, а 5 любят и то, другое. Также стоит учитывать, что 7 человек не являются фанатами ни одного из данных жанров.
Задание 3
В колледже решили провести конкурс студент года. Оценивались 3 критерия: спорт, успеваемость, активности вне учебы. К первой группе относилось 38 человек, ко второй — 19, а к третьей — 23. Среди всех кандидатов было только 5, кто смог отличиться по всем направлениям. 8 человек хорошо учились и занимались спортом. К сожалению, не нашлось тех, кто одновременно имел хорошую успеваемость и занимался активностями вне учебы. Зато было аж 15 человек совмещали эти активности со спортом. Сколько всего человек участвовало в конкурсе.
Ученики 9 классов ходят на дополнительные занятия для подготовки к экзаменам. Всего дополнительно занимается 51 человек. 38 из них посещают консультации по истории, а 33 — казахский язык. Определите сколько учеников занимаются и тем, и тем?
Ответы:
1 – 17.
2 – 46.
3 – 47.