fbpx
Предметы

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл является одним из основополагающих понятий математического анализа. Используется неопределенный интеграл в различных областях, таких как физика, инженерные расчеты, экономика и другие науки. Следует отметить, что неопределенный интеграл тесно связан с понятиями производной и первообразной. Поэтому перед изучением интегралов необходимо освежить в памяти, что такое производная и изучить суть первообразной.

Первообразной для данной нам функции будет такая функция, производная которой равна нашей функции.

Может показаться, что это сплошная тавтология. Поэтому представим это по-другому:

Исходная функция — f(x).

Первообразная этой функции — F(x).

И тогда связь между ними выражается следующим выражением: F(x)’=f(x).

То есть первообразная это противоположное (обратное) действие производной. Это как «+» и «-», «×» и «÷». Запомним это с помощью ассоциации с любимой игрой детства у многих.

ПроизводнаяПервообразная
f(x)
F(x)

Для того чтобы найти первообразную, нам необходимо запомнить определенные табличные значения.

Таблица первообразных.

Функция f(x). Первообразная F(x).
kkx+C
x^nx^(n+1)/n+1 
1/xln|x| 
e^xe^x 
a^xax/lna 
sinx-cosx 
cosxsinx 
1/sin^2x-ctgx 
1/cos^2xtgx 

С первообразной разобрались, можно приступить к неопределенному интегралу. 

Неопределенный интеграл от функции f(x) это множество всех возможных первообразных для нашей функции.

Формула отражающая это выглядит так: ∫ f(x)dx= F(x) + C.

Разберём данную запись на составляющие.

Делаем вывод, что записывать сам неопределенный интеграл принято таким образом: ∫ f(x)dx. 

Также понимаем, что для вычисления будем использовать почти точно такую же таблицу, как и для первообразных. 

Таблица интегралов.

Функция f(x). Интеграл ∫ f(x)dx. 
kkx+C
x^nx^(n+1)/n+1 + C
1/xln|x| + C
e^xe^x + C
a^xax/lna + C
sinx-cosx + C
cosxsinx + C
1/sin^2x-ctgx + C
1/cos^2xtgx + C

В общем вся эта ситуация со стороны жутко напоминает всем хорошо знакомый мем:

Первообразная F(x).Неопределенный интеграл ∫ f(x)dx.

Следующую шпаргалку поймут только избранные. 

Свойство интегралов.

Также необходимо запомнить несколько свойств интегралов для того, чтобы мы могли легче их вычислять.

1) ∫ (f(x) + g(x))dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx

2) ∫ (f(x) — g(x))dx = ∫ f(x)dx — ∫ g(x)dx

3) ∫ k×f(x)dx =k× ∫ f(x)dx

Практическая часть.

Решим несколько примером для того чтобы лучше закрепить материал и научиться правильно пользоваться таблицами.

Здание №1. Чему равен ∫ 23dx ?

Решение. Данный интеграл совпадает с табличными значениями. ∫ kdx=kx + C

Подставляем наше число и делает вычисления.

∫ 23dx=23х + С

Ответ: 23х + С.

Здание №2. Найдите неопределенный интеграл ∫ 5sinxdx.

Решение. Воспользуемся одним из свойств и вынесем число 5 за интеграл: 

∫ k×f(x)dx =k× ∫ f(x)dx.

И вот теперь можем использовать таблицу.

∫ sinxx=-cosх + С

И тогда выходит, что ∫ 5sinxdx=5×∫ sinxdx=5×∫ соsx=5cosx.

Ответ: 5cosx.

Здание №3. Чему равен интеграл ∫ (8x^3+2х-10)dx ?

Решение. Вспоминаем, что ∫ (f(x) ± g(x))dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx. И тогда получаем, что ∫ (8x^3+2х-10)dx=∫ 8x^3dx +∫ 2хdx -∫ 10dx.

Обратимся к нашим табличным значениям.

1. ∫ 8x^3dx=8х^(3+1)/3+1=8х^4/4=2х^4 + С

2. ∫ 2хdx=2х^(1+1)/1+1=2х^2/2=х^2 + С

3. ∫ 10dx=10х + С

∫ 8x^3dx +∫ 2хdx -∫ 10dx=2х^4 + х^210х + С.

Ответ: 2х^4 + х^210х + С.

Задания по данному разделу, которые встречаются на ЕНТ. 

Задачи с неопределенными интегралами на едином национальном тестировании встречаются только в профильной математике.

Задание №1. Вычислите ∫ (9х^2 + 6х^5 — 3+ 3/х) dx

Решение. Разделим наш интеграл на несколько компонентов:

∫ (9х^2 + 6х^5 — 3+ 3/х) dx= ∫ (9х^2)dx + ∫ (6х^5)dx — ∫ 3dx + ∫ (3/х)dx.

Решаем каждый интеграл отдельно, используя таблицу и свойства интегралов

1) ∫ (9х^2)dx = 9х^(2+1)/(2+1)=9х^3/3=3х^3 + С

2) ∫ (6х^5)dx = 6х^(5+1)/(5+1)= 6х^6/6=х^6 + С

3)∫ 3dx = 3х + С

4) ∫ (3/х)dx.

Воспользуемся свойством ∫ k×f(x)dx =k× ∫ f(x)dx для того, чтобы упростить себе задачу.

∫ (3/х)dx= 3×∫ (1/х)dx= 3 × lnlxl + C

5) ∫ (9х^2)dx + ∫ (6х^5)dx — ∫ 3dx + ∫ (3/х)dx = 3х^3 + х^6 + 3х + 3 × lnlxl + C

Ответ: 3х^3 + х^6 + 3х + 3 × lnlxl + C

Здание №2. Найдите чему равен интеграл ∫ (а/х + а^2/х^2 + а^3/х^3) dx.

Решение. Для начала пользуясь свойствами, разложим наш один большой интеграл на три маленьких.

∫ (а/х + а^2/х^2 + а^3/х^3) dx = ∫ (а/х)dx + ∫ (а^2/х^2)dx + ∫ (а^3/х^3)dx.

Теперь в каждом случае за интеграл вынесем числитель.

∫ (а/х)dx + ∫ (а^2/х^2)dx + ∫ (а^3/х^3)dx = а × ∫ (1/х)dx + а^2 × ∫ 1/х^2)dx + а^3 × ∫ (1/х^3)dx .

1) а × ∫ (1/х)dx.

Пример по типу ∫ (1/х)dx есть в таблице. ∫ (1/х)dx= ln lxl + C

Тогда выходит: а × ∫ (1/х)dx = аln lxl + C.

2) а^2 × ∫ 1/х^2)dx.

Представим 1/х^2=х^(-2). Получим, а^2 × ∫ х^(-2)dx.

Взглянем на таблицу и увидим, что ∫ x^ndx=

x^(n+1)/n+1 + C.

∫ х^(-2)dx = х^(-2+1)/-2+1=х^(-1)/-1=-1/х + С

а^2 × ∫ х^(-2)dx = а^2 × (-1/х)=-а^2/х +С

3) а^3 × ∫ (1/х^3)dx.

Представим 1/х^3=х^(-3). Получим, а^3 × ∫ х^(-3)dx.

Используя вышеприведенную формулу делаем вычисления.

∫ х^(-3)dx=х^(-3+1)/-3+1=х^(-2)/-2=-1/2х^2

а^3 × ∫ (1/х^3)dx= а^3 × (-1/2х^2)= -а^3/2х^2 + С

4) ∫ (а/х + а^2/х^2 + а^3/х^3) dx = а×ln lxl -а^2/х -а^3/2х^2 + С

Ответ: а×ln lxl — а^2/х — а^3/2х^2 + С.

Здание №3. Решите ∫ ((√х-2³√х+1)/⁴√х)dx.

Решение. Представим наш интеграл следующим образом: ∫ ((√х-2³√х+1)/⁴√х)dx= ∫ ((√х/⁴√(х^2)) -(2³√х/⁴√х)+(1/⁴√х))dx.

Используя свойства интеграла, получим

∫ ((√х/⁴√х) -(2³√(х^2)/⁴√х)+(1/⁴√х))dx = ∫ (√х/⁴√х)dx — ∫ (2³√х/⁴√х)dx + ∫ (1/⁴√х)dx.

1) ∫ (√х/⁴√х)dx.

Распишем √х как х^(1/2), а ⁴√х как х^(1/4)

Тогда выходит, что √х/⁴√х=х^(1/2)/х^(1/4)=х^(1/2-1/4)=х^(1/4)

∫ (√х/⁴√х)dx= ∫ х^(1/4)dx

Вспомним, что x^(n+1)/n+1 + C. Значит ∫ х^(1/4)dx = х^(1/4+1)/(1/4+1)= х^(5/4)/(5/4)= 4×х^(5/4)/5=4×⁴√х^5/5 =4×⁴√х/5 + С

2) ∫ (2³√(х^2)/⁴√х)dx.

Опять представим ⁴√х как х^(1/4) , а ³√х как х^(1/3).

2³√х/⁴√(х^2)=2×х^(2/3)/х^(1/4)=2х^(2/3-1/4)=2х^(8/12-3/12)=2х^(5/12)

∫ (2³√(х^2)/⁴√х)dx= ∫ 2х^(5/12)dx= 2× ∫ х^(5/12)dx=2×х^(5/12+1)/(5/12+1)=2×х^(17/12)/17/12=2×12×х^(17/12)/17 = 24×¹²√(х^17)/17 = 24×¹²√(х^5)/17+С

3) ∫ (1/⁴√х)dx.

Вновь распишем ⁴√х как х^(1/4), выйдет 1/⁴√х=1/х^(1/4)=х^(-1/4)

∫ (1/⁴√х)dx = ∫ х^(-1/4)dх= х^(-1/4+1)/(-1/4+1)= х^(3/4)/(3/4)=4×х^(3/4)/3=4×⁴√(х^3)/3 + С

4) ∫ (√х/⁴√х)dx — ∫ (2³√х/⁴√х)dx + ∫ (1/⁴√х)dx = 4×⁴√х/5 + 24×¹²√(х^5)/17 + 4×⁴√(х^3)/3 + С.

Ответ: 4×⁴√х/5 + 24×¹²√(х^5)/17 + 4×⁴√(х^3)/3 + С.

Задания для самопроверки:

Задание№1.

Вычислите ∫ (3соsx-15sinx)dx.

Задание№2.

Найдите ∫ (4х^3 — (1/х) + √х)dx.

Задание№3.

Чему равен интеграл ∫ ((4х — х^2 +1)/3) + √х)dx ?

Ответы: 1 — 3sinx+15cosx + C, 2 — х^4- lnlxl + 2√(x^3) + C, 3 — 2х^3/3 + х^3/9 + х/3 + С.

Понравилась статья? Оцени:
Звёзд: 1Звёзд: 2Звёзд: 3Звёзд: 4Звёзд: 5
Загрузка...
Полезный материал? Поделись им со своими друзьями, пусть они тоже почитают
Я нашёл ошибку Если вы обнаружили ошибку, свяжитесь с нами с помощью короткой формы обратной связи
О чем эта статья: