Арифметическая прогрессия

Одними из фундаментальных элементов математики являются числа. Они могут являться как конкретными значениями, так и абстрактными объектами, организованными в строго определенные порядки, структуры. Примером такой структуры служит числовая последовательность. Одним из видов числовых последовательностей является арифметическая прогрессия.
Поэтому для того, чтобы поближе познакомиться с таким понятием , как «арифметическая прогрессия» для начала вспомним что же такое «числовые последовательности» и что они из себя представляют.
Числовая последовательность это множество чисел, расположенных в определенном порядке.
Т.е. у каждого числа входящего в данное множество есть свой порядковый номер.
Членами последовательности являются все числа, составляющие саму последовательность.
Все члены обозначаются любой строчной буквой латинского алфавита с нижним числовым индексом, который указывает порядковый номер этого члена в последовательности. Обычно используют букву а , но это не значит , что вы не можете выбрать любую другую.
Приведем пару примеров:
— это первый член последовательности
— это второй член и так далее.
А вот теперь со спокойной душой можно вернуться к арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия —
это частный случай числовой последовательности, в которой разность между предыдущим членом и последующим членом остается всегда постоянной.
Или простым языком говоря, каждый член арифметической прогрессии больше или меньше предыдущего на одно и то же числовое значение.
Это неизменное значение называется разностью прогрессии.
Разность арифметической прогрессии обозначается буквой d

Выходит, мы получим такую последовательность, где
a1 — первый член,
d — разность между соседними членами,
n — номер члена последовательности.
Арифметические прогрессии часто встречаются в различных задачах и применяются в реальной жизни. Например, они могут использоваться для моделирования финансовых потоков, временных рядов или прогнозирования различных показателей. Поэтому для того , чтобы уметь правильно работать с арифметическими прогрессиями, нужно знать их виды, свойства и формулы, необходимые для решения задач.
Формула n-члена прогрессии
Каждый член арифметической прогрессии задан одной единственной формулой :

Опираясь на эту формулу , можно понять , что арифметическая прогрессия бывает трех видов.
1) Возрастающая. Это прогрессия, в которой каждый последующий член больше предыдущего. Для неё характерно неравенство d>0.
Пример : {1 , 5 , 9 , 13 , 17} Данная последовательность возрастает, потому что d=4 , а 4 > 0.
2) Убывающая. Это прогрессия, где каждый последующий член меньше предыдущего. Такую последовательно описывает неравенство d<0.
Примером убывающей прогрессии является : {10 , 5 , 0 , -5 , -10} Ведь d= 5 , а -5<0.
3) Стационарная. Прогрессия, в который все члены равны. Для неё характерно равенство d=0. Так как если вместо d в вышеупомянутую формулу подставить ноль , то мы получим an=a1. Получается , каждый последующий член будет равен первому , и прогрессия будет выглядеть примерно так: {7 , 7 , 7 , 7 , 7}.
Для наглядности и простоты понимая это можно представить следующим образом:
d>0 | d=0 | d<0 |
![]() | ![]() | ![]() |
Также из формулы n-члена прогрессии мы можем выразить а1 и d .

Такой формулой мы воспользуемся в том случае, когда нам известна разность прогрессии и её любой n-член.


А данная формула подходит для заданий, в условиях которых нам даны первый член и любой n-член прогрессии.
Поскольку мы до этого упоминали , что каждый член прогрессии отличается от предыдущего на одно и то же значение, то мы можем найти разность последовательности, воспользовавшись еще одной формулой , имеющей вид
Такую формулу мы будем использовать в задачах , где дана сама последовательность или два её члена-соседа (например а6 и а7 или а130 и а131)

Вот картинка-помощник для того,чтобы запомнить вышеупомянутые формулы.
Свойство арифметической последовательности :

Данное выражение дает нам понять, что каждый член прогрессии равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Т.е. среднее арифметическое шестого и четвертого члена равно пятому члену , среднее арифметическое восьмого и десятого члена равно девятому члену и так далее.
Именно благодаря данному свойству , такой вид последовательностей и получил свое название «арифметические прогрессии».
Естественно, эта формула не подходит для первого члена прогрессии, ведь у того только один сосед в последовательности , ведь на то он и первый, что до него никого нет и быть не может.
Сумма первых n членов прогрессии
Это еще одна вещь, которую необходимо изучить для выполнении задач с арифметическими прогрессиями.
Сумма первых n членов обозначается таким образом :
Sn=a1+a2+…+an , где
n — это количество первых членов прогрессии , сумму которых нужно найти.
Получается S4=a1+a2+a3+a4, S5=a1+a2+a3+a4+a5, S7=a1+a2+a3+a4+a5+а6+а7 и так далее.
Вроде бы все просто и понятно. Однако нужно учитывать , что иногда в задачах просят найти сумму первых 30 членов , а то и 54. И мы же не будем находить каждый член отдельно, потратив на это кучу времени , сил и нервов. Поэтому для удобства и скорости пользуются следующими двумя формулами.
![]() | ![]() |
Для такого нюанса отлично подходит два прикольных и прекрасно всем известных мемчика.


Первая формула подходит для задания , в котором нужно найти Sn , зная чему равно аn и а1.
Например: нам надо найти сумму первых 40 членов последовательности , и нам помимо первого члена еще известно чему равен а40. Поэтому мы будем решать задачу через первую формулу.
А вот вторая формула используется , когда нам нужно найти Sn, но нам известны только разность прогрессии и ее первый член.
Таблица со всеми формулами.
Для того , чтобы лучше и легче запомнить каждую формулу обратимся к следующей таблице.
Формула n-члена арифметической прогрессии | ![]() | ![]() |
Первый член арифметической прогрессии | ![]() | ![]() |
Разность арифметической прогрессии | ![]() ![]() | ![]() |
Свойство арифметической прогрессии | ![]() | ![]() |
Сумма первых n членов арифметической прогрессии | ![]() ![]() | ![]() |
Практическая часть.
Для закрепления теоретического материала перейдем к практической части и выполним несколько задач.
Задание №1 Найдите десятый член арифметической прогрессии , если её первый член равен 3 , а разность равна 7.
Решение. а1=3 d=7 a10 — ?
В формулу n-члена арифметической прогрессии подставляем числовые значения и делаем вычисления.
а10=3+ 7×(10-1)= 3 + 7×9 = 66
Ответ: а10= 66
Задание №2 Четвертый член арифметической прогрессии равен 10. Разность прогрессии равна -5. Найдите первый член последовательности.
Решение. а4=10 d =-5 а1 — ?
В формулу для нахождения первого члена подставляем наши числа и решаем.
а1=10 — (-5)×(4-1)= 10 + 5×3 = 25
Ответ: а1= 25
Задание №3 Найдите сумму первых 17 членов прогрессии , в которой первый член равен 1 , а разность равняется 3.
Решение. а1=1 d=3 S1- ?
У нас не дан в условиях а17, поэтому используем более длинную формулу.
S17= 2×1 + 3×(17-1)/2 × 17 = 2 + 3×16/2 × 17 =
= 2+48/2 × 17 = 25×17 = 425
Ответ: S17= 425
Задание №4 Двадцатый член арифметической прогрессии равен 86 , а девятнадцатый член равняется 82. Найдите сумму первых 20 членов.
Решение. а20=86 а19=82 S20- ?
Поскольку мы знаем чему равен a20 , для нахождения S20 мы будем использовать первую формулу.
Но для начала нам нужно найти первый член прогрессии и ее разность . Для этого используем подходящие формулы.
d=86- 82= 4
а1=86- 4×(20-1)= 86- 4×19 = 10
И вот только теперь можно приступать к вычислению S20
S20= (10 + 86)/2 × 20 = 960
Ответ: S20= 960
Задание №5 Ученый пишет энциклопедию объемом на 3240 страниц Каждую неделю количество написанных страниц увеличивается на 4. Сколько страниц написал ученый в первую неделю , если он написал энциклопедия за 40 недель.
Решение. Не стоит пугаться этой задачи из-за её формулировку. Давайте разбираться по порядку.
Во-первых, d=4 . Потому что именно на это значение количество страниц увеличивается каждую неделю.
Затем обратим внимание , что в энциклопедии 3240 страниц , написанных за 40 недель. То есть, каждая неделя это член прогрессии, а конечный объем книги это сумма 40 членов. Получается: S40=3240
И тогда количество страниц написанных на первой недели будет ничем иным как первым членом прогрессии.
Используя длинную формулу для нахождения суммы n первых членов прогрессии выразим оттуда а1.
а1= ( (2Sn/n) — d(n-1) )/ 2
a1= ((2×3240/40) — 4×(20-1) ) /2 = ((6480/40) — 4×39) /2 = (162- 156)/2 = 6/2 = 3
Ответ: а1=3
Задания по данному разделу , которые встречаются на ЕНТ :
Задание №1 Чему равна разность арифметической прогрессии, если её первый и седьмой член соответственно равны 2 и 14.
Решение.
Простая задачка , решаем через формулу
а1= 2 а7= 14 d — ?
d= 14-2 /(7-1) = 12/6 =2
Ответ: d=2
Задание №2 Сумма девятого и одиннадцатого членов арифметической прогрессии равна 42. Найдите четвертый член последовательности , если первый равен 3.
Решение. a9+a11=42 a1=3 a4 — ?
Вспомним свойство арифметической прогрессии найдем десятый член.
а10= 42/2 = 21
После вычислим d
d = 21 — 3 / (10-1) = 18/9 = 2
Теперь найдем a4
a4 = 3 + 2×(3-1) = 3 + 2×2 = 7
Ответ: а4=7
Задание №3 Вычислите сумму первого члена и разности арифметической прогрессии, если третий член равен 11.5 , а пятый равен 20.5.
Решение. а3=11.5 а5=20.5 а1 + d — ?
Для начала используя свойство прогрессии найдем 4 член .
а4 = (11.5+20.5)/2 =16
Теперь можем взять пару а3 и а4 или а5 и а4 , а после найти разность.
d=16-11.5 =4.5
Зная d найдем первый член прогрессии.
а1=16 — 4.5×(4-1) = 16- 4.5×3 = 2.5
а1+d = 2.5+4.5 = 7
Ответ: 7
Задание №4 Сумма третьего и шестого члена арифметической прогрессии равна 3. Разность седьмого и пятого члена равна -6. Вычислите произведение первого члена последовательности на её разность.
Решение. а3+а6=3 а7-а5=-6 а1×d — ?
Для решения таких задач нужно составлять систему уравнение, которая будет иметь вид: 1) а3+а6=3
а7-а5=-6
2)Затем распишем а3, а6, а7 и а5 используя формулу n-члена прогресии.
а3=а1+2d a6=a1+5d a7=a1+6d a5=a1+4d
3) Полученные значения подставляем в уравнения
а1+2d +a1+5d = 3 а1+2d +a1+5d = 3
a1+6d -(a1+4d)= -6 a1+6d -a1- 4d= -6
4)Теперь приводим подобные
2а1+7d= 3
2d= -6
5)Сейчас мы можем найти d.
d= -6/2 = -3
6) Подставляем -3 во второе уравнение.
2а1 + 7×(-3) = 3
2а1 — 21= 3
2а1= 24
а1=12
7) И наконец находим произведение.
а1×d= 12×(-3) = -36
Ответ: — 36
Задания для самопроверки:
Задание 1
Найдите девятый член арифметической прогрессии , если её первый член равен 2 , а разность равна 4.
Задание 2
Сумма третьего и шестого члена арифметической прогрессии равна 20. Разность седьмого члена и второго равна 10. Найдите разность прогрессии и её первый член.
Задание 3
Продавец продавал 500 арбузов. Каждый день ему удавалось продавать на одно и тоё же количество арбузов больше , чем в предыдущий. Сколько арбузов было продано в первый день, если продажа закончилась на 4 день, когда одна компания купила оставшиеся 245 арбузов.
Ответы:
1 – 34.
2 – d =2 , a1=3.
3 – 5.