fbpx
Предметы

Арифметическая прогрессия

Одними из фундаментальных элементов математики являются числа. Они могут являться как конкретными значениями, так и абстрактными объектами, организованными в строго определенные порядки, структуры. Примером такой структуры служит числовая  последовательность. Одним из видов числовых последовательностей является арифметическая прогрессия.

Поэтому для того, чтобы поближе познакомиться с таким понятием , как «арифметическая прогрессия» для начала вспомним что же такое «числовые последовательности» и что они из себя представляют.

Числовая последовательность это множество чисел, расположенных в определенном порядке.

Т.е. у каждого числа входящего в данное множество есть свой порядковый номер.

Членами последовательности являются все числа, составляющие саму последовательность.

Все члены обозначаются любой строчной буквой латинского алфавита с нижним числовым индексом, который указывает порядковый номер этого члена в последовательности. Обычно используют букву а , но это не значит , что вы не можете выбрать любую другую. 

Приведем пару примеров: 

—  это первый член последовательности 

— это  второй член и так далее.

А вот теперь со спокойной душой можно вернуться к арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия —

 это частный случай числовой последовательности, в которой разность между предыдущим членом и последующим членом остается всегда постоянной.

Или простым языком говоря, каждый член арифметической прогрессии больше или меньше предыдущего на одно и то же числовое значение.

Это неизменное значение называется разностью прогрессии.

Разность арифметической прогрессии обозначается буквой d

Выходит, мы получим такую последовательность, где

a1 — первый член,

d — разность между соседними членами,

n — номер члена последовательности.

Арифметические прогрессии часто встречаются в различных задачах и применяются в реальной жизни. Например, они могут использоваться для моделирования финансовых потоков, временных рядов или прогнозирования различных показателей.  Поэтому для того , чтобы уметь правильно работать с арифметическими прогрессиями, нужно знать их виды, свойства и формулы, необходимые для решения задач. 

Формула n-члена прогрессии

Каждый член арифметической прогрессии задан одной единственной формулой :

Опираясь на эту формулу , можно понять , что арифметическая прогрессия бывает трех видов.

1) Возрастающая. Это прогрессия, в которой каждый последующий член больше предыдущего. Для неё характерно неравенство d>0.

Пример : {1 , 5 , 9 , 13 , 17}  Данная последовательность возрастает, потому что d=4 , а 4 > 0.

2) Убывающая. Это прогрессия, где каждый последующий член меньше предыдущего. Такую последовательно описывает неравенство d<0.

Примером убывающей прогрессии является : {10 , 5 , 0 , -5 , -10} Ведь d= 5 , а  -5<0.

3) Стационарная.  Прогрессия, в который все члены равны. Для неё характерно равенство d=0.  Так как если вместо d в вышеупомянутую формулу подставить ноль , то мы получим an=a1.  Получается , каждый последующий член будет равен первому , и прогрессия будет выглядеть примерно так: {7 , 7 , 7 , 7 , 7}.

Для наглядности и простоты понимая это можно представить следующим образом:

d>0                  d=0                     d<0

Также из формулы n-члена прогрессии мы можем выразить а1 и d .

Такой формулой мы воспользуемся в том случае, когда нам известна разность прогрессии и её любой n-член.

А данная формула подходит для заданий, в условиях которых нам даны первый член и любой n-член прогрессии.

Поскольку мы до этого упоминали , что каждый член прогрессии отличается от предыдущего на одно и то же значение, то мы можем найти разность последовательности, воспользовавшись еще одной формулой , имеющей вид

Такую формулу мы будем использовать в задачах , где дана сама последовательность или два её члена-соседа (например а6 и а7 или а130 и а131)

Вот картинка-помощник для того,чтобы запомнить вышеупомянутые формулы.  

Свойство арифметической последовательности :

Данное выражение дает нам понять, что каждый член прогрессии равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Т.е. среднее арифметическое шестого и четвертого члена равно пятому члену , среднее арифметическое восьмого и десятого члена равно девятому члену и так далее.                                                                                                                          

Именно благодаря данному свойству , такой вид последовательностей и получил свое название «арифметические прогрессии».

Естественно, эта формула не подходит для первого члена прогрессии, ведь у того только один сосед в последовательности , ведь на то он и первый, что до него никого нет и быть не может.

Сумма первых n членов прогрессии

Это еще одна вещь, которую необходимо изучить для выполнении задач с арифметическими прогрессиями. 

Сумма первых n членов       обозначается таким образом :

Sn=a1+a2+…+an , где

n — это количество первых членов прогрессии , сумму которых нужно найти.

Получается S4=a1+a2+a3+a4, S5=a1+a2+a3+a4+a5, S7=a1+a2+a3+a4+a5+а6+а7                     и так далее.

Вроде бы все просто и понятно. Однако нужно учитывать , что иногда в задачах просят найти сумму первых 30 членов , а то и 54. И мы же не будем находить каждый член отдельно, потратив на это кучу времени , сил и нервов. Поэтому для удобства и скорости пользуются следующими двумя формулами.

Для такого нюанса отлично подходит два прикольных и прекрасно всем известных мемчика.                               

Первая формула подходит для задания , в котором нужно найти Sn , зная чему равно аn и а1.

Например: нам надо найти сумму первых 40 членов последовательности , и нам помимо первого члена еще известно чему равен а40. Поэтому мы будем решать задачу через первую формулу.

А вот вторая формула используется , когда нам нужно найти Sn, но нам известны только разность прогрессии и ее первый член.

Таблица со всеми формулами.

 Для того , чтобы лучше и легче запомнить каждую формулу обратимся к следующей таблице.

Формула n-члена арифметической прогрессии
Первый член арифметической прогрессии
Разность арифметической прогрессии
Свойство арифметической  прогрессии
Сумма первых n членов арифметической прогрессии 

Практическая часть.

Для закрепления теоретического материала перейдем к практической части и выполним несколько задач.

Задание №1 Найдите десятый член арифметической прогрессии , если её первый член равен 3 , а разность равна 7. 

Решение. а1=3        d=7      a10 — ?

В формулу n-члена арифметической прогрессии подставляем числовые значения и делаем вычисления.

а10=3+ 7×(10-1)= 3 + 7×9 = 66

Ответ: а10= 66

Задание №2 Четвертый член арифметической прогрессии равен 10. Разность прогрессии равна -5. Найдите первый член последовательности.

Решение.   а4=10    d =-5     а1 — ?

В формулу для нахождения первого члена подставляем наши числа и решаем.

а1=10 — (-5)×(4-1)= 10 + 5×3 = 25

Ответ: а1= 25

Задание №3 Найдите сумму первых 17 членов прогрессии , в которой первый член равен 1 , а разность равняется 3.

Решение.   а1=1     d=3    S1- ?

У нас не дан в условиях а17, поэтому используем более длинную формулу.

S17= 2×1 + 3×(17-1)/2 × 17 = 2 + 3×16/2 × 17 =

= 2+48/2 × 17 = 25×17 = 425

Ответ: S17= 425

Задание №4 Двадцатый член арифметической прогрессии равен 86 , а девятнадцатый член равняется 82. Найдите сумму первых 20 членов.

Решение.   а20=86      а19=82      S20- ?

Поскольку мы знаем чему равен a20 , для нахождения S20 мы будем использовать первую формулу.

Но для начала нам нужно найти первый член прогрессии и ее разность . Для этого используем подходящие формулы.

d=86- 82= 4

а1=86- 4×(20-1)= 86- 4×19 = 10

И вот только теперь можно приступать к вычислению S20

S20= (10 + 86)/2 × 20 = 960

Ответ: S20= 960

Задание №5 Ученый пишет энциклопедию объемом на 3240 страниц Каждую неделю количество написанных страниц увеличивается на 4. Сколько страниц написал ученый в первую неделю , если он написал энциклопедия за 40 недель.

Решение. Не стоит пугаться этой задачи из-за её формулировку. Давайте разбираться по порядку.

Во-первых, d=4 . Потому что именно на это значение количество страниц увеличивается каждую неделю.

   Затем обратим внимание , что в энциклопедии 3240 страниц , написанных за 40 недель. То есть, каждая неделя это член прогрессии, а конечный объем книги это сумма 40 членов. Получается: S40=3240

   И тогда количество страниц написанных на первой недели будет ничем иным как первым членом прогрессии.

   Используя длинную формулу для нахождения суммы n первых членов прогрессии выразим оттуда а1.

а1= ( (2Sn/n) — d(n-1) )/ 2     

a1= ((2×3240/40) — 4×(20-1) ) /2 = ((6480/40) — 4×39) /2 = (162- 156)/2 = 6/2 = 3

Ответ: а1=3

Задания по данному разделу , которые встречаются на ЕНТ :

Задание №1 Чему равна разность арифметической прогрессии, если её первый и седьмой член соответственно равны 2 и 14.

Решение.

Простая задачка , решаем через формулу

а1= 2 а7= 14 d — ?

d= 14-2 /(7-1) = 12/6 =2

Ответ: d=2

Задание №2 Сумма девятого и одиннадцатого членов арифметической прогрессии равна 42. Найдите четвертый член последовательности , если первый равен 3.

Решение.  a9+a11=42       a1=3       a4 — ?

Вспомним свойство арифметической прогрессии найдем десятый член.

а10= 42/2 = 21

После вычислим d

d = 21 — 3 / (10-1) = 18/9 = 2

Теперь найдем a4

a4 = 3 + 2×(3-1) = 3 + 2×2 = 7

Ответ: а4=7

Задание №3 Вычислите сумму первого члена и разности арифметической прогрессии, если третий член равен 11.5 , а пятый равен 20.5.

Решение.  а3=11.5      а5=20.5        а1 + d — ?

Для начала используя свойство прогрессии найдем 4 член .

а4 = (11.5+20.5)/2 =16

Теперь можем взять пару а3 и а4 или а5 и а4 , а после найти разность.

d=16-11.5 =4.5

Зная d найдем первый член прогрессии.

а1=16 — 4.5×(4-1) = 16- 4.5×3 = 2.5

а1+d = 2.5+4.5 = 7

Ответ: 7

Задание №4 Сумма третьего и шестого члена арифметической прогрессии равна 3. Разность седьмого и пятого члена равна -6. Вычислите произведение первого члена последовательности на её разность.

Решение.  а3+а6=3     а7-а5=-6          а1×d — ?

Для решения таких задач нужно составлять систему уравнение, которая будет иметь вид:   1)    а3+а6=3

а7-а5=-6

2)Затем распишем а3, а6, а7 и а5 используя формулу n-члена прогресии.

а3=а1+2d      a6=a1+5d      a7=a1+6d       a5=a1+4d

3) Полученные значения подставляем в уравнения

а1+2d +a1+5d = 3                            а1+2d +a1+5d = 3

a1+6d -(a1+4d)= -6                          a1+6d -a1- 4d= -6

4)Теперь приводим подобные

2а1+7d= 3

2d= -6

5)Сейчас мы можем найти d.

d= -6/2 = -3

6) Подставляем -3 во второе уравнение.

2а1 + 7×(-3) = 3

2а1 — 21= 3

2а1= 24

а1=12

7) И наконец находим произведение.

а1×d= 12×(-3) = -36

Ответ: — 36

Задания для самопроверки:

Задание 1

Найдите девятый член арифметической прогрессии , если её первый член равен 2 , а разность равна 4. 

Задание 2

Сумма третьего и шестого члена арифметической прогрессии равна 20. Разность седьмого члена и второго равна 10. Найдите разность прогрессии и её первый член.

Задание 3

Продавец продавал 500 арбузов. Каждый день ему удавалось продавать на одно и тоё же количество арбузов больше , чем в предыдущий. Сколько арбузов было продано в первый день, если продажа закончилась на 4 день, когда одна компания купила оставшиеся 245 арбузов.

Ответы:

1 – 34.

2 –  d =2 , a1=3. 

3 – 5.

Понравилась статья? Оцени:
Звёзд: 1Звёзд: 2Звёзд: 3Звёзд: 4Звёзд: 5
Загрузка...
Полезный материал? Поделись им со своими друзьями, пусть они тоже почитают
Я нашёл ошибку Если вы обнаружили ошибку, свяжитесь с нами с помощью короткой формы обратной связи
О чем эта статья: