fbpx
Предметы

Производная

Производная функции является мощным методом анализа и исследования функций, который находит применение в различных областях науки и техники. Производная играет важную роль не только в математике и прикладных к ней науках, но и в физике, экономике, где она помогает моделировать различные процессы и явления.

Она используется для определения экстремумов функций, нахождения точек перегиба, исследования поведения графиков функций и многих других задач. 

Давайте разберемся что же такое “производная”и с чем ее принято “кушать”. 

Производной называют такой предел, который является отношением приращения самой функции (у) к приращению ее аргумента (х), когда приращение аргумента стремится к нулю. ( если такой предел может существовать.) 

Думаю такое определение и его математическое отражение мало кому может что-либо объяснить, ну разве что мы поймем как отмечается производная ( f’ (x) ). Поэтому выразимся более простым и понятным языком.

Производная обозначает скорость изменения функции в какой-либо одной конкретной точке.

Само вычисление производной называют дифференцированием. Для нахождения производных необходимо ознакомиться со следующими таблицами, где представлены все нужные формулы и правила дифференцирования, которые мы будем использовать при решении заданий. Их желательно выучить, ведь не везде можно использовать шпаргалку.

Таблица производных

f (x)  функцияf’ (x) производная функции
С  (константа, абсолютно любое число)0
х1
х^n n×x^(n-1)
√x 1/2√x
1/x -1/x^2
sinx cosx
cosx-sinx
tgx 1/cos^2x
ctgx — 1/sin^2x
e^x e^x
a^x a^x×lna
lnx 1/x
logx 1/x×lna

Правила дифференцирования

(u+v)’ u’+v’
(u-v)’ u’-v’
(u×v)’  u’×v + v’×u
(u/v)’   (u’×v — v’×u)/v^2
(c×f)’ c×f’

u, v, и f в данных формулах выступают в роли функций, а с является константой (или же абсолютно любым числом).

Обратимся к одному примеру для того, чтобы лучше понять суть самой производной и научиться правильно применять формулы.

Первоклассник решил улучшить свою технику чтения. Первую неделю он читал только 34 слова в день. Начиная со второй недели он стал каждый день читать на 2 слово больше.

1) Составим функцию, которая описала бы первую неделю занятий. Получим: у=34. Нет необходимости составлять таблицу, ведь при любом значении х, наш у всегда будет равен только 34. Начертим график.

Теперь вычислим производную. Обратимся таблице №1, видим, что производная 34, как и любого другого числа равна нулю.

Значит скорость изменения функции тоже равна нулю. Убедиться в этом легко, ведь по графику мы видим, что никаких изменений у нас действительно нет.

2) Подберем функцию для второй недели у=34+2х. Делаем табличку и составляем график.

х123
у363840

Сейчас ищем производную согласно правилам дифференцирования.

Выходит, что у’=34’+2х’. Вспоминаем, что 34’=0, тогда у’=2х’. Делаем вычисления. 

у’=2×х’

у’=2×1

у’=2

Получается, что скорость изменения нашей функции (то есть прогресс ученика в чтении) является 2 слова в день. Это можно заметить и по самому графику, который растет. 

Также можно искать несколько производных одной функции. Например, возможна и такая запись f(x)», или даже такая f(x)»’. Рассмотрим это на другом примере.

Нам дана функция f(x)=х^2. Необходимо найти третью производную.

Для начала ищем первую производную.

f(x)’=(х^2)’=2×х^(2-1)=2х

Затем беремся за второй шаг.

f(x)»=(2х)’=2×х’=2×1=2

И теперь мы можем найти третью производную.

f(x)»’=2’=0

И выходит, что f(x)»’=0.

Для того чтобы лучше запомнить это свойство производной и ее значение, обратимся к небольшой подсказке.




     f(x)


           f(x)’



      f(x)»

Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной тесно связан с тригонометрией. Для того чтобы в этом убедиться и легче все понять, обратим внимание на один простой пример.

Дана функция у=х+2. Найдем ее производную, пользуясь нашими таблицами.

у’=х’+2’=1+0=1. 

Запоминаем у’=1.

Теперь посмотрим на график нашей функции и выберем любую точку. Пусть это будет точка с координатами (3;5).

Начертим треугольник, который как бы «связал» и нашу точку, и нашу прямую. В итоге получим:

* В том случае, когда функция не будет линейной, то нужно просто провести касательную к нашей точке.  

Назовем треугольник АВС. После отметим приращение функции и приращение аргумента. Простым языком выражаясь, приращение функции — это изменение переменной у, а приращение аргумента — это изменение переменной х. То есть получаем ∆у и ∆х.

Отметив это на графике, замечаем, что ∆у=ВС, а ∆х=АС.

Из самого определения вспоминаем, что производная это отношение приращения функции к приращению аргумента. В формуле это имеет такой вид: ∆у/∆х.

Вспоминая равенство этих значений и сторон треугольника выходит: ∆у/∆х=ВС/АС.

Теперь переключаемся внимание на наш треугольник. Он у нас прямоугольный. И значит, что отношение ВС к АС, будет ни чем иным, как отношением противолежащего катета к прилежащему. И значит, что ВС/АС=tgА. Можно это представить и в более привычном виде: tgА=ВС/АС.

Подставляем найденное в выше полученное выражение: ∆у/∆х=tgА.

Найдем чему равен тангенс заданного угла. ВС=3, АС=3. tgА=3/3=1. Тогда ∆у/∆х=1. Значит производная равна 1. Данное значение сходится с тем, что мы получили при использовании формул.(1=1).

Делаем вывод:

 Геометрический смысл производной заключается в том, что производной будет являться тангенс угла наклона касательной, проведенной к точке, которая принадлежит графику нашей функции.

Формула, отражающая это: f(x)’=tgА.

Физический смысл производной

Для того чтобы понять физический смысл производной обратимся к точке, которая движется по закону S=100t

В данном случае в роли переменной у выступает S, а в роли переменной хt. Значит, мы можем записать закон, по которому движется точка чуть по-другому: y=100x. 

Вычислим производную. S’=(100t)’=100×t‘=100×1=100.

S’=100.

Составим таблицу и начертим график. 

t (х)1234
S (y)100200300400

Сейчас посмотрим на наш график. Здесь отражен пройденный путь в зависимости от времени. Зная эти две величины мы можем найти третью — скорость.

Выберем точку на графике которая соответствует координатами (3;300).

Найдем мгновенную скорость по формуле V=S/t. V=300\3=100 км/ч.

Внимательно посмотрим на график и поймём, что S=∆y, a t=∆x.

Выходит V=∆y/∆x. Значит скорость является производной пути, то есть S’=V.

Наши значения тоже сходятся. (100=100)

Делаем вывод:

Физический смысл производной заключается в том, что когда тело движется по закону S=S(t), то производная данного закона является мгновенной скоростью в момент времени t. 

Формула, отражающая это: S’=V.

По тому же принципу установлено, что производная скорости является ускорением.

V’=a.

Это можно представить как вторую производную пути.

S»=a.

Sпуть
S’Vскорость
S»=V’аускорение


Физический смысл производной.


S’=V. 
S»=V’=а.



       Геометрический смысл производной.





f(x)’=tgА.



Алгебраический смысл производной.



Уравнение касательной к графику функции.

Производные и уравнения касательных тесно связаны в геометрическом понимании функций.

Как мы говорили выше с точки зрения геометрии производная является тангенсом угла наклона касательной, проведенной к одной из точек нашей функции.

После вспоминаем, что tgA у нас характеризует угол наклона, а значит tgA будет являться коэффициентом k, о котором мы узнали, изучив разные виды функций и их графики.

И учитывая это, математики с легкостью смогли составить уравнение касательной к графику с использованием производной.

И выглядит оно следующим образом: y=f(x0)+f'(x0)×(x-x0), где

f(x) — функция, к которой мы ищем производную;

f'(x) — производная функции;

х0 — точка, через которую проходит наша касательная;

х — аргумент касательной, ее независимая переменная.

*На место х при нахождении уравнения касательной мы ничего не подставляем.  

Пример№1. Найдите касательную к функции f(x)=3x^3+6x в точке х0=1.

1. Находим f(х0).

f(х0)=f(1)=3×(1^3)+6×1=3+6=9

2.  a) Вычислим f'(x)

f'(x)=(3x^3+6x)’=(3x^3)’+(6x)’=(3×3x^2)+(6×1)=9x^2+6

b) Найдем f'(х0)

f'(х0)=f'(1)=9×(1^2)+6=9+6=15

3) Найдем х-х0.

х-х0=х-1.

4) Подставляем полученные выражения в наше уравнение.

у=9+15×(х-1).

Раскроем скобки, умножив их на 15.

у=9+(15×х)-(15×1)=9-15х-15=15х-6

И тогда уравнение касательной к нашей функции в точке х=1 будет таким: у=15х-6.

Производные сложных функций.

Бывает когда необходимо найти производную функций, которые не совпадают с табличными значениями. Например, у=sin(3х-4) или же у=√(4х-3).

Такие функции называют сложными. Можно заметить, что данные функции словно сложены из двух простых. Например, у=√(4х-3) состоит из у=√х и у=4х-3.

Получается, что √х является нашей внешней частью, а 4х-3 внутренней.

Обозначим нашу внешнюю функцию u, а внутреннюю v. Тогда наша формула будет выглядеть так:                  у’=u(v)’×v’.

Значит, производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней.

Решим несколько задач.

Пример№1. Чему равна производная функции у=(4х+3)^4 ?

Вначале находим внешнюю и внутреннюю часть нашей функции.

u=х^4, v=4x+3.

1) Выходит: (х^4)’=4×(х)^3.

Вместо х подставляем 4x+3.

u(v)’=4×(4x+3)^3

2) v’=(4x+3)’=4

3) Тогда у’=((4х+3)^4)’=4×(4x+3)^3×4=16×(4x+3)^3.

Ответ: 16×(4x+3)^3.

Пример№2. Найдите производную сложной функции заданной уравнением у=sin(4x).

1) u=sinx

(sinx)’=cosx

u(v)’=cos(4x)

2) v=4x

v’=4x’=4 

3) y’=cos(4x)×4=4cos(4x)

Ответ: 4cos(4x). 

Практическая часть

Задание №1. Найдите производную функции у=13^х.

Решение. Это стандартное выражение, поэтому воспользуемся таблицей производных и сделаем вычисления. a^x=a^x×lna.

Получается у’=(13^х)’=13^x×ln13

Ответ: 13^x×ln13.

Задание №2. Чему равна производная функции, заданной уравнением у=3х+х^5-8х^2+3 ?

Решение. Используя таблицу №1 и правила дифференцирования, найдем производную.

у’=(3х+х^5-8х^2+3)’=(3х)’+(х^5)’-(8х^2)’+(3)’=3+5х^4-8×2х+0=3+5х^4-16х

Обычно принято записывать сперва переменные с х в наибольшей степени, после переменные с х в наименьшей степени, и только потом числа без х. Тогда у нас выйдет, что у’=5х^4-16х+3.

Ответ: 5х^4-16х+3.

Задание №3. Дана функция у=4соs(5x). Найдите ее производную.

Решение. Это сложная функция. Поэтому выделим вначале внешнюю и внутреннюю компоненты.

u=cosx

v=5x

Число 4 у нас выступает как константа. Поэтому согласно правилам дифференцирования мы можем сделать все вычисления и в конце просто полученное выражение умножить на 4.

(соsx)’=-sinx

Вместо х подставляем 5х. И выходит, что u'(v)=-sin(5x).

v’=(5x)’=5×x’=5×1=5

Теперь умножаем внешнюю функции на внутреннюю и на 4.

у’=4×(-sin(5x))×5=-20sin(5x)

Ответ: -20sin(5x).

Задание №4. Чему равняется производная функции, которая задана уравнение у=9х^2/9 ?

Решение. Воспользуемся данными из двух таблиц и найдем нужное нам значение.

(u/v)’=(u’×v — v’×u)/v^2.

у’=(2х^2/9)’=((2х^2)’×9 — 9’×2х^2)/9^2=(2х^2)’×9 — 9’×2х^2)/9^2=2×2х×9-0×2х^2/49=4х×9/49=4х/9

Ответ: 4х/9.

Задания по данному разделу, которые встречаются на ЕНТ 

Задания по данной теме есть только в профильной математике. Предлагаю рассмотреть и решить типы задач, которые могут встретиться в тестировании.

Задание №1. Дана функция у=√(-3х^4-7х-6). Найдите ее производную.

Решение. Поэтому выделим вначале внешнюю и внутреннюю функцию.

u=√x

v=-3х^4-7х-6

1) (√x)’=1/2√х

На место х ставим -3х^4-7х-6.

u'(v)=1/2√(-3х^4-7х-6)

2) v’=(-3х^4-7х-6)’=(-3х^4)’-(7х)’-(6)’=(-3×4х^3)-(7×1)-0=-12х^3-7

Помним, что у’=u(v)’×v’. Значит у’=1/2√(-3х^4-7х-6)×(-12х^3-7)=-12х^3-7/2√(-3х^4-7х-6).

Ответ: -12х^3-7/2√(-3х^4-7х-6).

Задание №2. Тело движется по закону S(t)=14t^2+3t-10. Найдите какой скоростью будет обладать тело на 3 секунде движения.

Решение. Применяем физический смысл производной — S’=V.

S(t)’=V(t)=(14t^2+3t-10)’=(14t^2)’+(3t)’-(10)’=(2×14x)+(3×1)-0=28t+3.

V(t)=28t+3

Вычисляем V(3).

V(3)=28×3+3=84+3=87.

Ответ: 87.

Задание №3. Точка движется по закону S(t)=t^3-2.5t^2+2t. Определение через сколько секунд скорость тела станет равна нулю.

Решение. Вновь воспользуемся тем, что физический смысл производной заключается в том, что S’=V.

S(t)’=V(t)=(t^3-2.5t^2+2t)’=(t^3)’-(2.5t^2)’+(2t)=(3×t^2)-(2×2.5t)+(2×1)=3t^2-5t+2

V(t)=3t^2-5t+2.

Приравниваем нашу скорость к нулю. V(t)=0, выходит, что 3t^2-5t+2=0.

Решаем данное уравнение.

D=(-5)^2-(4×2×3)=25-24=1=1^2

x1=5+1/2×3=6/6=1.

x2=5-1/2×3=4/6=2/3.

Ответ: 2/3, 1.

Задание №4. Найдите производную функции у=³√(5х^4-6х).

Решение. Это сложная, поэтому выделяем наши u и v.

u=³√х

v=5х^4-6х

Понимаем, что в таблице производных нет выражение по типу ³√х, поэтому представим корень третей степени, в виде степени 1/3. То есть ³√х=х^(1/3). Вот теперь мы можем делать вычисления, ведь знаем как находить производную х в какой-то степени: х^n=n×x^(n-1).

1) (х^(1/3))’=1/3×х^(1/3-1)=1/3×х^(1/3-3/3)=1/3×х^(-2/3).

Преобразуем х^(-2/3) в ³√(х^(-2)).

Получим ³√(1/х^2)=1/³√х^2.

Вместо х подставим 5х^4-6х.

u'(v)=1/³√(5х^4-6х)^2.

2) v’=(5х^4-6х)’=(5х^4)’-(6х)’=(4×5x^3)-(6×1)=20x^3-6

3) y’=1/³√(5х^4-6х)^2×(20x^3-6)=20x^3-6/³√(5х^4-6х)^2

Ответ: 20x^3-6/³√(5х^4-6х)^2.

Задание №5. Найдите точки, принадлежащую касательной, проведенной к графику функции у=х^2+6х-2 в точке х0=2.

А) (1;4)

B) (3;20)

C) (5;43)

D) (2;14)

Решение. Сперва мы найдем уравнение нашей касательной, а затем будем вместо нашего аргумента подставляем х из данных точек. И те значения функции, которые совпадут с у этих точек, и будут являться решением задачи.

1. f(x0)

f(x0)=f(2)=(2^2)+(6×2)-2=4+12-2=14

2. f'(x0)

a) f'(x)=(х^2+6х-2)’=(х^2)’+(6х)’-(2)’=(2×2)+)6×1)-0=2x+6

b) f'(x0)=f'(2)=2×2+6=4+6=10

3) х-х0

х-х0=х-2

4) у=14+10×(х-2)=14+10×х-10×2=14+10х-20=10×-6

у=10х-6

5) Подставляем х, находим у и сравниваем.

А) (1;4) х=1 у=4

у(1)=10×1-6=10-6=4

4=4

Точка принадлежит касательной.

B) (3;20) х=3 у=20

у(3)=10×3-6=30-6=24

20≠24

Точка не подходит.

C) (5;43) х=5 у=43

у(5)=10×5-6=50-6=44

43≠44

Точка не принадлежит касательной.

D) (2;14) х=2 у=14

у(2)=10×2-6=20-6=14

14=14

Точка подходит.

Ответ: А, D.

Задания для самопроверки:

Задание№1.

Чему равна производная функции у=10х^3-х^2+√х ?

Задание№2.

Найдите производную функции, заданной уравнение у=15sin(3x-2).

Задание№3.

Чему будет равно ускорение тела через 1 секунду, если оно движется по закону S(t)=0.5t^8-2t+t ?

Ответы: 1 — 30х^2-2х+1/2√х., 2 — 45cos(3x-2), 3 — 24.

Понравилась статья? Оцени:
Звёзд: 1Звёзд: 2Звёзд: 3Звёзд: 4Звёзд: 5
Загрузка...
Полезный материал? Поделись им со своими друзьями, пусть они тоже почитают
Я нашёл ошибку Если вы обнаружили ошибку, свяжитесь с нами с помощью короткой формы обратной связи
О чем эта статья: