fbpx
Предметы

Окружность и круг

В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с различными круглыми формами, предметами. Да и с окружностью нередко встречаемся. В качестве примера можно привести колеса автомобиля, велосипеда и другого транспорта, обруч, круглые ковры и столы и так далее. В общем этот список можно продолжать еще долго. Поэтому такая тема в математике, как «Окружность и круг» максимально тесно связана с реальной жизнью. Ну и конечно же, данный раздел присутствует и в едином национальном тестировании. Поэтому для того чтобы не терять драгоценные баллы и для того чтобы уметь применять свои знания на практике приступим к изучению.

Окружность и элементы окружности.

Давайте вспомним как выглядят велокамера, обруч, обручальное кольцо и пончик.

Внимательно посмотрели на картинки ? Если да, то поздравляю, ведь теперь вы знаете как выглядит окружность.

Давайте обратимся к нашему определению.

Окружность представляет собою замкнутую линию, ей принадлежит множество точек, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от центра.

Представим, что у нас есть кольцо с центром О. Данное кольцо является окружностью. Нашей окружности принадлежат точки А, В и С.

Соединим наши точки с центром кольца. Получается, проведем отрезки ОА, ОВ и ОС.

И исходя из определения окружности, сделаем вывод, что данные отрезки равны.

ОА = ОВ = ОС

Такие отрезки, которые соединяют центр окружности с точкой, лежащей на самой окружности называют радиусом.

В письменных работах радиус отмечают буквой R или r.

Запомните, радиусы одной окружности, проведенные из разных точек, всегда являются равными.

Давайте теперь проведем отрезок, который будет проходить через центр нашего кольца и соединять две разные точки. Допустим начертим отрезок EF. 

Теперь обратим внимание на то, что EF состоит из отрезков EO и ОF, а они в свою очередь являются радиусами. Тогда получается, что такие отрезки как ЕF по длине будут равны аж двум радиусам.

Линии, соединяющие две точки окружности и при этом проходящие через ее центр принято называть диаметром.

Диаметр отмечают на письме буквой D или d.

Формула связывающая длину радиуса и длину диаметра выглядит таким образом: D = 2R

То есть это выражение отражает то, что любой диаметр окружности равен двум радиусам.

Длина окружности.

Каждая из окружностей является замкнутой линией, имеющей свою длину. Длину окружности обозначаются заглавной буквой С.

Формула для нахождения окружности выглядит так: С = 2πR

Можно формулу выразить через диаметр, и записать вместо 2R просто D: С = πD

π — это постоянная величина для любых кругов, окружностей и их «сородичей».

Значение π принято считать за 3,14.

На самом же деле после запятой стоит неизмеримое количество других цифр. π можно назвать настоящим числовым бардаком. Ведь оно состоит из всех возможных числовых последовательностей, это наши даты рождения, все наши номера, пин-коды карт и так далее. В общем π — это мистический серый кардинал в мире цифр и числовых комбинаций.

Круг.

Ну думаю, все прекрасно знают как выглядит круг.

Круг — это такая фигура, которая образуется при проведении окружности.

Получается, что окружность — это просто обруч, а круг — это так скажем «внутренняя» часть окружности.

Общие элементы круга и окружности.

У окружности и круга есть ряд схожих элементов. Сюда входят радиус, диаметр, градусная мера, дуги, хорды, центральные и вписанные углы. Давайте с каждым из данных понятий познакомимся поближе.

Градусная мера окружности, круга.

Давайте снова посмотрим на график с диаметром и попытаемся определить градусную меру окружности.

Получается, что наш диаметр образует два развернутых угла по 180 градусов. Таким образом, всего у нас 360 градусов. 

180° × 2 = 360°. 

Дуги.

Если на окружности расположить любые две точки, то она будет поделена на две части. Например, на чертеже представлена окружность с точкой Е и точкой C. Данные точки разделили нашу окружность на два так называемых полумесяца EC и СЕ. Именно эти полумесяцы и являются дугами. 

Дуга — это часть окружности, начало и конец которой определяет расположение двух точек.

Единицы измерения дуги либо градусы, либо радианы. Для того чтобы понять скольким градусам или радианам равна дуга, необходимо найти чему равен центральный угол опирающийся на данную дугу. Думаю возник вопрос: «а что же такое центральный угол?». Давайте вместе разберемся.

Углы в окружности.

Углы в окружности представлены центральными и вписанными.

Центральные углы — это такие углы, у которых вершиной является центр окружности.

Мера центрального угла равна его дуге. То есть если угол ЕОF равен 65° градусов, то дуга ЕF равна 65° градусам. И так же само наоборот, знаю дугу, можно найти центральный угол.

Вписанными углами принято называть такие углы, у которых вершины лежат на самой окружности.

А вот градусная мера вписанных углов равна половине дуги, на которую они опираются. Например, угол АВС равен 55°, то дуга АС равна 110°.

Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. На чертеже представлены два угла АВС и АМС. Оба данных угла опираются на одну дугу АС, а это значит что они равны. ∠АВС = ∠АМС

Хорды.

Предлагаю вернуться вновь к линиям в нашей окружности. Только на этот раз проведем отрезок так, чтобы он соединил две точки окружности, но не проходил через центр. В итоге можем получить вот такой чертеж. Этой линии так же само дают название с помощью заглавных букв.

Такие отрезки, которые соединяют любые две точки окружности, не задевая ее центр, получили название хорды.

Хорды могут быть одинаковой длины или вовсе сильно отличаться. Однако несмотря на такое разнообразие, всем хордам присущи определенные особенности.

Во-первых, пересекаясь две хорды делятся по два отрезки так, что произведение двух отрезков одной хорды равно произведению двух отрезков другой.

Обратимся к чертежу и лучше усвоим это свойство.

Получается, у нас есть хорды АВ и СD. Эти хорды пересеклись в точке, которой дали название G. В итоге каждая из наших хорд «распалась» на две части.

АВ: АО и ОB

СD: CО и ОD

И тогда используя наше свойство, получим такое равенство.

АО × ОB = CО × ОD

Во-вторых, если хорда и диаметр пересекаются под углом в 90 градусов, то хорда делится на два равных отрезка.

Как это можно математически объяснить ? А для этого обратимся к нашему чертежу. 

Диаметр — АВ, Хорда — СD.

Теперь давайте проведем радиусы OD и ОС.

Учтем то, что все радиусы одной окружности равны друг другу. Из этого вытекает следующее: OD = ОС. И тогда треугольник СОD является равнобедренным с боковыми сторонами OD, ОС и основанием CB.

В таком случае отрезок ОН будет являться высотой, проведенной к основанию равнобедренного треугольника. А это дает нам понять, что данная высота еще также является медианой и делит само основание пополам. И таким образом, СН = НD.

В-третьих, равные по длине хорды, лежат на равных дугах.

В-четвертых, углы, образованные пересечением двух хорд, равны сумме их дуг, деленной на два.

Например, углы СОА и ВОD равны друг другу поскольку они являются вертикальными. Для того чтобы найти чему они оба равны, нам необходимо сложить дуги АС и BD, а после полученное значение разделить на два.

Элементы круга.

Элементами, которые присущи только кругу, являются сектор, сегмент и площадь круга.

Площадь круга.

Площадь геометрической фигуры круга находится по формуле:

S = πR^2.

Выходит, что для вычисления площади нам необходимо знать только радиус или диаметр круга.

Давайте выразим формулу площади через диаметр.

S = πD^2 / 4

Сектор.

Для того чтобы понять что же такое сектор, давайте вспомним как выглядит центральный угол.

Получается, что центральный угол отрезает от нашего круга некоторую часть, которую и принято называть сектором. 

Существует две формулы, которые встречаются в задачах про сектора круга.

Первая для нахождения длины дуги сектора, а другая для вычисления площади самого сектора.

Длина дуги сектора: l = π×R×a° / 180°
Площадь сектора: S = π×R^2×a° / 360°

В данных двух формулах а — это угол центрального угла, который образует наш сектор.

Сегмент.

Теперь давайте обратим внимание на то, что любая хорда тоже отрезает от нашего круга некий «кусочек».

Часть круга, которая ограничена хордой и ее дугой, является сегментом.

Площадь сегмента: S = R^2 / 2 (π×a°/180° — sina)
Длина дуги сегмента:l = π×R×a° / 180°
Длина хорды сегмента: с = 2 × R × sin(a/2)
Высота сегмента: h = R × ( 1 — cos(a/2)

Практическая часть.

Задание №1. Найдите чему равен радиус и диаметр круга, у которого площадь равняется 200,96.

Решение. Вспомним формулу площади круга и выразим из нее радиус. 

S = πR^2

R^2 = S / π

R = √ (S / π)

Вычисляем радиус.

R = √ (200,96 / π) = √ (200,96 / 3,14) = √ 64 = 8

Теперь зная чему равен наш радиус, найдем диаметр.

D = 2 × R = 2 × 8 = 16

Ответ: 8, 16.

Задание №2. Чему равна длина дуги сектора, если радиус круга равен 4 см, а центральный угол — 30° ? (π ≈ 3)

Решение. Используя нужную формулу, сделаем вычисления: l = π×R×a° / 180°

l = 3×4×30° / 180° = 2

Ответ: 2.

Задания по данному разделу, которые встречаются на ЕНТ.

Задачи по теме «Окружность и круг» встречаются на едином национальном тестировании и в математической грамотности, и в профильной математике. Поэтому необходимо уделить немало внимания для данного раздела. Ведь никто не хочет потерять драгоценные баллы на тестировании.

Математическая грамотность.

Задание №1. Используя предоставленную диаграмму, определите сколько процентов составляют помидоры от всего количества овощей. 

Решение. Для того чтобы решить такую задачу, необходимо составить пропорцию. Учтите, что 100 процентов у нас будет составлять градусная мера круга, то есть 360 градусов. Тогда получим: 

360° – 100%

75° – х

Теперь вычислим х, используя метод «крест на крест».

х = 75° × 100% / 360° ≈ 20,8% ≈ 21%

Ответ: 21%.

Р.s. Такие круговые диаграммы встречаются очень часто. Могут даже попадаться целые контексты по одной такой диаграмме. Поэтому хорошо запомните принцип построения пропорций и принцип вычисления недостающей величины.

Задание №2. Найдите чему равна площадь кольца, изображенного на чертеже, если известно, что ОА = 3, АВ = 2. 

Решение. Получается нам необходимо найти площадь следующей фигуры: 

Для того чтобы понять как это сделать, стоит обратить внимание, что сама фигура получена следующим образом: В бо́льшем круге вырезали меньший. Выходит, что нам необходимо от площади бо́льшего круга отнять площадь меньшего.

Для этого определим чему равны наши радиусы

R1 = 3 (меньший круг)

R2 = 3 + 2 = 5 (больший круг)

Используем формулу: S = πR^2.

S1 = π × 3^2 = 9π

S2 = π × 5^2 = 25π

Теперь найдем площадь нашего кольца — S3.

S3 = S2 — S1 = 25π — 9π = 16π

Ответ: 16π.

Задание №3. Вычислите площадь внешней поверхности шляпы, используя предоставленный чертеж. 

Решение. Давайте разделим площадь всей внешней поверхности шляпы (S) на три части: S1, S2, S3.

S1 — площадь меньшего круга, верхней части шляпы.

S2 — площадь полоски, которая образует цилиндр шляпы.

S3 — площадь кольца.

S1.

d1 = 10

l= 10

h = 10

Учитывая то, что диаметр верхнего круга равен 10, найдем радиус.

R1 = D1 / 2 = 10 / 2 = 5

S1 = π × R1^2 = π × 5^2 = 25π.

S2.

Если эту полоску развернуть, то мы поймем, что она является прямоугольником, у которого длиной является длина верхнего круга, а шириной будет данная нам высота.

Площадь прямоугольника нужно искать по формуле: S = a × b

а = С1 = 2 × R × π = 2 × 5 × π = 10π

b = h = 10

S2 = a × b = 10π × 10 = 100π

S3.

Найдем площадь кольца по тому же алгоритму как и в предыдущем задании. То есть от площади большего круга отнимем площадь меньшего.

В начале найдем радиус большего круга.

R = 10 + 5 = 15

Теперь вычислим площадь: S= π×R^2 = π × 15^2 = 225π

S3 = 225π — 25π = 200π

А вот сейчас наконец найдем площадь внешней поверхности шляпы.

S = S1 + S2 + S3 = 25π + 100π + 200π = 325π

Ответ: 325π. 

Математика.

Задание №1. Вычислите площадь маленького сектора, маленького сегмента и треугольника, если радиус круга равен 5 см, а центральный угол равен 45 градусов.

Решение. S1 — площадь сектора. 

S1 = π×R^2×a° / 360° = 3,14 × 5^2 × 45° / 360° = 3 532,5 / 360° = 9,8125 см^2

S2 — площадь сегмента.

S2 = R^2 / 2 (π×a°/180° — sina) = S = 5^2 / 2 (π×45°/180° — sin45) = 25 / 2 ( 3,14×45° / 180° — 0,7) = 12,5 ( 0,785 — 0,7) = 12,5 × 0,085 = 1,0625 см^2

S3 — площадь треугольника.

Самым простым способом найти площадь треугольника будет следующее действие: от площади сектора отнять площадь сегмента.

S3 = S1 — S2 = 9,8125 — 1,0625 = 8,75 см^2

Ответ: 9,8125 см^2, 1,0625 см^2, 8,75 см^2.

Задание №2. В кругу провели хорду АВ, длиной 16 дм. Хорда находится на расстоянии 6 дм от центра. Найдите чему равен радиус, длина окружности и площадь данного круга. Ниже представлен чертеж. 

Решение. При изучении хорд мы упоминали, что пересекаясь с диаметром или радиусом под прямым углом, хорда делится пополам. На нашем рисунке мы видим, что угол между радиусом и хордой равен 90 градусам. А это значит, что наша хорда поделена на две одинаковые по длине части.

АС = АВ = АВ / 2 = 16 дм / 2 = 8 дм.

Теперь обратим внимание на треугольник АСО. Это прямоугольный треугольник, у которого гипотенузой являются радиус круга.

ОА — гипотенуза (радиус);

АС и ОС — катеты.

Мы знаем чему равны катеты. А из этого следует, что мы можем легко определить чему равна гипотенуза с помощью теоремы Пифагора.

с^2 = а^2 + b^2

ОА^2 = АС^2 + ОС^2

АС = 8 дм

ОС = 6 дм

ОА^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100

ОА^2 = 100

ОА = √ 100

ОА = 10

Вот мы и нашли наш радиус. И теперь мы можем легко найти длину окружности и площадь круга.

С = 2 × π × R

C = 2 × π × 10 = 20π

S = π × R^2

S = π × 10^2 =S = π × 100 = 100π

Ответ: 10 дм, 20π, 100π.

Задания для самопроверки:

Задание№1.

Во сколько раз площадь круга с радиусом 9 больше площади круга с радиусом 3 ? А во сколько раз отличаются длины окружностей с такими же радиусам ?

Задание №2.

Вычислите площадь сегмента, его хорду, дугу и высоту, если известно, что центральный угол равен 30, а радиус — 4. 

Задание №3.

Две хорды пересеклись таким образом, что получилось 4 отрезка. Два отрезка одной хорды равны 8 и 5. Один отрезок другой хорды равен 10, а вот второй ее отрезок неизвестен. Найдите чему равен 4 отрезок.

Ответы:

1 — в 9 раз, в 3 раза.

2 — 0.19, 2.07, 2.09, 0.14.

3 — 4.

Понравилась статья? Оцени:
Звёзд: 1Звёзд: 2Звёзд: 3Звёзд: 4Звёзд: 5
Загрузка...
Полезный материал? Поделись им со своими друзьями, пусть они тоже почитают
Я нашёл ошибку Если вы обнаружили ошибку, свяжитесь с нами с помощью короткой формы обратной связи
О чем эта статья: