fbpx
Предметы

Пределы

Предел — это еще одно явление, которое очень тесно связано с математическим анализом. И прежде чем с ним познакомиться необходимо изучить что такое функция. Ведь пределы определяют поведение функции в различных точках, помогая нам анализировать ее свойства. Например, предел в определенной точке может определить ее непрерывность или существование асимптот. Пределы функций также используются для нахождения значений функций в бесконечно удаленных точках. В общем, понимание пределов функций существенно для математиков, и применяется в различных областях, начиная от физики и экономики до информационных технологий и строительства.

Предел — 

это такое число, к которому будет приближаться значение(у) нашей функции при стремлении аргумента (х) к одному строго определенному числовому значению.

Мы помним, что переменная у зависит от переменной х согласно данному нам закону f(x). То есть мы подставляем х в наш закон и получаем у.

Для того, чтобы легче уловить суть, предлагаю немного по-другому посмотреть на само определение функции и разобрать вместе с нами несколько примеров. Давайте посмотрим на иллюстрации и проведем аналогии. 

хf(x)у

 Выходит:

х — наш стартовый набор.

f(x) — завод, «перерабатывающий» стартовый набор

у — наш конечный результат после переработки.

Сейчас решим пару заданий согласно нашей шпаргалке.

Пример №1. Дана функция f(x)=3x. Пусть х=3.

Стартовый набор — 3

Завод- 3×3

Результат — 9

Пример №2. Функция задана f(x)=x^3. Наш х=2.

Стартовый набор — 2

Завод- 2^3

Результат — 8

Пример №3. Есть функция у=х+3.

Теперь рассмотрим пример, когда наш аргумент будет на какую-то малейшую долю приближаться к значению 4.

Получается:

х1=3.8

х2=3.86

х3=3.9

х4=3.94

х5=3.99

Сделаем небольшую таблицу для наглядности и удобства.

хf(x)у
3.83.8 + 36.8
3.863.86 + 36.86
3.93.9 + 36.9
3.943.94 + 36.94
3.993.99 + 36.99

Смотря на наши числовые данные понимаем, что наш конечный результат будет с каждым разом становиться все ближе и ближе к отметке «7». Однако наш у никогда её не то, что перешагнуть, он даже ее достигнуть не сможет. 

Таким образом, «7» это строго очерченная граница конкретно для данного случая. Это и будет являться нашим пределом. Такие пределы существуют и для других ситуаций.

Очередной пример. Нам известно, что для приготовления 5 тортов необходимо 50 яиц. 

Делаем вывод, что из 47, 48 и даже из 49 яиц мы никак не сделаем 5 полноценных тортов. Такая же схема и при работе с пределами. 

Теперь предлагаю узнать как мы на письме отмечаем пределы и все, что с ними связано.

Сам пределом обозначается следующим образом: lim

А стремление аргумента к какому-то числу мы записываем так: x→x0 

И понимаем, что запись предела функции у=4х^2-3, аргумент которой стремиться к -1 будет обозначаться, как на иллюстрации.

Практическая часть.

Для закрепления теоретического материала перейдем к практической части и выполним несколько задач. 

Для того, что найти вышеприведенный предел мы просто в нашу функцию вместо х подставим -1 и вычислим у. 

у=4×1^2-3=4-3=1 

Ответ: 1.

Казалось бы все легко и быстро, но иногда бывают ситуации, когда нам для начала необходимо сделать кое-какие преобразования в данной нам функции и только потом подставлять то число, к которому стремиться х. 

Почему так происходит? Предлагаю в этом разобраться на примере одного простого (правда только на первый взгляд) задания.

Подставляем 3 в каждую часть нашей дроби.

Числитель: х^2-9=3^2-9=9-9=0

Знаменатель: х-3=3-3=0

У нас вышло 0/0. А такое выражение является неопределенностью, простым языком, если ноль разделить на ноль, то мы можем получить абсолютно любое число. Поэтому нам необходимо преобразовать нашу функцию.

Если внимательно посмотреть на наш числитель х^2-9, то легко заметить, что его можно разложить на множители по формулам сокращенного умножения.

И тогда получаем, что х^2-9=(х-3)(х+3).

Подставляем полученное выражение в нашу дробь.

Сокращаем (х-3) и в знаменатели, и в числителе. 

Тогда у нас остается:

И теперь мы можем найти наш предел.

Ставим на место х 3, и вычисляем. 

х+3=3+3=6

Ответ: 6.

Обратив внимание на пример №2. Он будет чуть сложнее. 

Наш х стремится к плюс бесконечности. Давайте вновь подставим в наши дроби то, к чему приближается наш аргумент.

В числителе у нас получится +∞, и в знаменателе тоже выйдет +∞.

Подставим полученные значения в дробь. Выходит +∞/+∞. Такое выражение тоже является неопределенностью. Поэтому мы должны опять «трансформировать» нашу функцию.

В данном случаем мы должны и числитель и знаменатель разделить на переменную в старшей степени, то есть в самой большой степени. У нас это будет х^2. Получим:

Теперь разделим каждый член числителя на х^2. Выйдет следующее.

Сокращаем и получаем.

Наши дроби, в знаменателе которых находится наш, стремящийся к плюс бесконечности, будут равны нулям.

Числитель: 2+0-0=2.

То же самое проделываем со знаменателем. Делим каждый член на х^2. Получаем:

Сокращаем и вычисляем.

Вспоминаем про дроби с бесконечностей в знаменателе и получаем 8-0=8.

И при таком раскладе у нас выходит: 

х нет, подставлять нечего. Значит пределом будет дробь 2/8. Сократим ее и вычислим 1/4.

Ответ: 1/4.

Для того, чтобы запомнить как решать задачи с каждой из неопределенностей, обратимся к подсказке-мему:

Задания по данному разделу, которые встречаются на ЕНТ.

Пределы функции на тестировании встречаются только в профильной математике.

Давайте посмотрим какие типы задач по данной теме вам могут попасться.

Задание №1. 

Решение. Подставляем 3 в наш числитель и знаменатель.

Числитель: 3×х^2-27=3×3^2-27=27-27=0

Знаменатель: х-3=3-3=0

У нас вышло 0/0. Значит нужно преобразовать функцию.

Если тщательно всмотреться в наш числитель 3×х^2-27, то нетрудно заметить, что мы можем вынести общий множитель 3 за скобку.

И тогда получаем.

Вновь обращаем внимание на числитель и замечаем, что (х^2-9) можем разложить согласно формулам сокращенного умножения. Выходит:

Теперь сокращаем (х-3) и в знаменатели, и в числителе. 

Тогда у нас остается:

Умножаем 3 на скобку и вычисляем:

И сейчас мы в силах найти наш предел.

3х+9=3×3+9=9+9=18

Ответ: 18. 

Задание №2. 

Подставляем 0 в нашу дробь

Числитель: 0^3+2×0=0+0=0

Знаменатель: 0^2-0=0-0=0

У нас опять выходит 0/0. Значит нужно «трансформировать» функцию.

Внимательно смотрим на наш знаменатель х^3+2х и отмечаем, что мы можем вынести общий множитель х за скобку. И тогда получаем:

Теперь обращаем внимание на знаменатель х^2-х и замечаем, что в силах вынести общий множитель х за скобку. Выходит следующее:

Теперь сокращаем х и в знаменатели, и в числителе. 

Таким образом у нас остается:

И теперь мы можем вычислить наш предел.

0^2+2/(0-1)=2/-1=-2

Ответ: -2.

Задание №3. 

При таком раскладе у нас х стремится к бесконечности.

Подставляя её в нашу дробь выходит ∞/∞. Решаем задание по выведенному выше алгоритму. Делим каждый член числителя на переменную в старшей степени х^3. Получаем:

Теперь сократим:

Помним, что дроби с нашим х превращаются в нуль. Значит числитель будет равен 3+0+0=3.

Повторяем тоже самое со знаменателем.

Знаменатель равен 1+0=1

Подставляем в нашу дробь и выходит.

И видим, что нашим пределом будет дробь 3/1. То есть 3.

Ответ: 3.

Задания для самопроверки:

Задание №1.

Задание №2.

Задание №3.

Ответы: 1 — 17/3, 2 — -1/4, 3 — 2.

Понравилась статья? Оцени:
Звёзд: 1Звёзд: 2Звёзд: 3Звёзд: 4Звёзд: 5
Загрузка...
Полезный материал? Поделись им со своими друзьями, пусть они тоже почитают
Я нашёл ошибку Если вы обнаружили ошибку, свяжитесь с нами с помощью короткой формы обратной связи
О чем эта статья: