Notice: Function _load_textdomain_just_in_time was called incorrectly. Translation loading for the cyrlitera domain was triggered too early. This is usually an indicator for some code in the plugin or theme running too early. Translations should be loaded at the init action or later. Please see Debugging in WordPress for more information. (This message was added in version 6.7.0.) in /var/www/html/wp-includes/functions.php on line 6114 Notice: Function _load_textdomain_just_in_time was called incorrectly. Translation loading for the easy-watermark domain was triggered too early. This is usually an indicator for some code in the plugin or theme running too early. Translations should be loaded at the init action or later. Please see Debugging in WordPress for more information. (This message was added in version 6.7.0.) in /var/www/html/wp-includes/functions.php on line 6114 Notice: Function _load_textdomain_just_in_time was called incorrectly. Translation loading for the all-in-one-wp-security-and-firewall domain was triggered too early. This is usually an indicator for some code in the plugin or theme running too early. Translations should be loaded at the init action or later. Please see Debugging in WordPress for more information. (This message was added in version 6.7.0.) in /var/www/html/wp-includes/functions.php on line 6114 Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /var/www/html/wp-includes/functions.php:6114) in /var/www/html/wp-content/plugins/all-in-one-wp-security-and-firewall/classes/wp-security-utility.php on line 216 Производная — Umschool
Предметы

Производная

Производная функции является мощным методом анализа и исследования функций, который находит применение в различных областях науки и техники. Производная играет важную роль не только в математике и прикладных к ней науках, но и в физике, экономике, где она помогает моделировать различные процессы и явления.

Она используется для определения экстремумов функций, нахождения точек перегиба, исследования поведения графиков функций и многих других задач. 

Давайте разберемся что же такое “производная”и с чем ее принято “кушать”. 

Производной называют такой предел, который является отношением приращения самой функции (у) к приращению ее аргумента (х), когда приращение аргумента стремится к нулю. ( если такой предел может существовать.) 

Думаю такое определение и его математическое отражение мало кому может что-либо объяснить, ну разве что мы поймем как отмечается производная ( f’ (x) ). Поэтому выразимся более простым и понятным языком.

Производная обозначает скорость изменения функции в какой-либо одной конкретной точке.

Само вычисление производной называют дифференцированием. Для нахождения производных необходимо ознакомиться со следующими таблицами, где представлены все нужные формулы и правила дифференцирования, которые мы будем использовать при решении заданий. Их желательно выучить, ведь не везде можно использовать шпаргалку.

Таблица производных

f (x)  функцияf’ (x) производная функции
С  (константа, абсолютно любое число)0
х1
х^n n×x^(n-1)
√x 1/2√x
1/x -1/x^2
sinx cosx
cosx-sinx
tgx 1/cos^2x
ctgx — 1/sin^2x
e^x e^x
a^x a^x×lna
lnx 1/x
logx 1/x×lna

Правила дифференцирования

(u+v)’ u’+v’
(u-v)’ u’-v’
(u×v)’  u’×v + v’×u
(u/v)’   (u’×v — v’×u)/v^2
(c×f)’ c×f’

u, v, и f в данных формулах выступают в роли функций, а с является константой (или же абсолютно любым числом).

Обратимся к одному примеру для того, чтобы лучше понять суть самой производной и научиться правильно применять формулы.

Первоклассник решил улучшить свою технику чтения. Первую неделю он читал только 34 слова в день. Начиная со второй недели он стал каждый день читать на 2 слово больше.

1) Составим функцию, которая описала бы первую неделю занятий. Получим: у=34. Нет необходимости составлять таблицу, ведь при любом значении х, наш у всегда будет равен только 34. Начертим график.

Теперь вычислим производную. Обратимся таблице №1, видим, что производная 34, как и любого другого числа равна нулю.

Значит скорость изменения функции тоже равна нулю. Убедиться в этом легко, ведь по графику мы видим, что никаких изменений у нас действительно нет.

2) Подберем функцию для второй недели у=34+2х. Делаем табличку и составляем график.

х123
у363840

Сейчас ищем производную согласно правилам дифференцирования.

Выходит, что у’=34’+2х’. Вспоминаем, что 34’=0, тогда у’=2х’. Делаем вычисления. 

у’=2×х’

у’=2×1

у’=2

Получается, что скорость изменения нашей функции (то есть прогресс ученика в чтении) является 2 слова в день. Это можно заметить и по самому графику, который растет. 

Также можно искать несколько производных одной функции. Например, возможна и такая запись f(x)», или даже такая f(x)»’. Рассмотрим это на другом примере.

Нам дана функция f(x)=х^2. Необходимо найти третью производную.

Для начала ищем первую производную.

f(x)’=(х^2)’=2×х^(2-1)=2х

Затем беремся за второй шаг.

f(x)»=(2х)’=2×х’=2×1=2

И теперь мы можем найти третью производную.

f(x)»’=2’=0

И выходит, что f(x)»’=0.

Для того чтобы лучше запомнить это свойство производной и ее значение, обратимся к небольшой подсказке.




     f(x)


           f(x)’



      f(x)»

Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной тесно связан с тригонометрией. Для того чтобы в этом убедиться и легче все понять, обратим внимание на один простой пример.

Дана функция у=х+2. Найдем ее производную, пользуясь нашими таблицами.

у’=х’+2’=1+0=1. 

Запоминаем у’=1.

Теперь посмотрим на график нашей функции и выберем любую точку. Пусть это будет точка с координатами (3;5).

Начертим треугольник, который как бы «связал» и нашу точку, и нашу прямую. В итоге получим:

* В том случае, когда функция не будет линейной, то нужно просто провести касательную к нашей точке.  

Назовем треугольник АВС. После отметим приращение функции и приращение аргумента. Простым языком выражаясь, приращение функции — это изменение переменной у, а приращение аргумента — это изменение переменной х. То есть получаем ∆у и ∆х.

Отметив это на графике, замечаем, что ∆у=ВС, а ∆х=АС.

Из самого определения вспоминаем, что производная это отношение приращения функции к приращению аргумента. В формуле это имеет такой вид: ∆у/∆х.

Вспоминая равенство этих значений и сторон треугольника выходит: ∆у/∆х=ВС/АС.

Теперь переключаемся внимание на наш треугольник. Он у нас прямоугольный. И значит, что отношение ВС к АС, будет ни чем иным, как отношением противолежащего катета к прилежащему. И значит, что ВС/АС=tgА. Можно это представить и в более привычном виде: tgА=ВС/АС.

Подставляем найденное в выше полученное выражение: ∆у/∆х=tgА.

Найдем чему равен тангенс заданного угла. ВС=3, АС=3. tgА=3/3=1. Тогда ∆у/∆х=1. Значит производная равна 1. Данное значение сходится с тем, что мы получили при использовании формул.(1=1).

Делаем вывод:

 Геометрический смысл производной заключается в том, что производной будет являться тангенс угла наклона касательной, проведенной к точке, которая принадлежит графику нашей функции.

Формула, отражающая это: f(x)’=tgА.

Физический смысл производной

Для того чтобы понять физический смысл производной обратимся к точке, которая движется по закону S=100t

В данном случае в роли переменной у выступает S, а в роли переменной хt. Значит, мы можем записать закон, по которому движется точка чуть по-другому: y=100x. 

Вычислим производную. S’=(100t)’=100×t‘=100×1=100.

S’=100.

Составим таблицу и начертим график. 

t (х)1234
S (y)100200300400

Сейчас посмотрим на наш график. Здесь отражен пройденный путь в зависимости от времени. Зная эти две величины мы можем найти третью — скорость.

Выберем точку на графике которая соответствует координатами (3;300).

Найдем мгновенную скорость по формуле V=S/t. V=300\3=100 км/ч.

Внимательно посмотрим на график и поймём, что S=∆y, a t=∆x.

Выходит V=∆y/∆x. Значит скорость является производной пути, то есть S’=V.

Наши значения тоже сходятся. (100=100)

Делаем вывод:

Физический смысл производной заключается в том, что когда тело движется по закону S=S(t), то производная данного закона является мгновенной скоростью в момент времени t. 

Формула, отражающая это: S’=V.

По тому же принципу установлено, что производная скорости является ускорением.

V’=a.

Это можно представить как вторую производную пути.

S»=a.

Sпуть
S’Vскорость
S»=V’аускорение


Физический смысл производной.


S’=V. 
S»=V’=а.



       Геометрический смысл производной.





f(x)’=tgА.



Алгебраический смысл производной.



Уравнение касательной к графику функции.

Производные и уравнения касательных тесно связаны в геометрическом понимании функций.

Как мы говорили выше с точки зрения геометрии производная является тангенсом угла наклона касательной, проведенной к одной из точек нашей функции.

После вспоминаем, что tgA у нас характеризует угол наклона, а значит tgA будет являться коэффициентом k, о котором мы узнали, изучив разные виды функций и их графики.

И учитывая это, математики с легкостью смогли составить уравнение касательной к графику с использованием производной.

И выглядит оно следующим образом: y=f(x0)+f'(x0)×(x-x0), где

f(x) — функция, к которой мы ищем производную;

f'(x) — производная функции;

х0 — точка, через которую проходит наша касательная;

х — аргумент касательной, ее независимая переменная.

*На место х при нахождении уравнения касательной мы ничего не подставляем.  

Пример№1. Найдите касательную к функции f(x)=3x^3+6x в точке х0=1.

1. Находим f(х0).

f(х0)=f(1)=3×(1^3)+6×1=3+6=9

2.  a) Вычислим f'(x)

f'(x)=(3x^3+6x)’=(3x^3)’+(6x)’=(3×3x^2)+(6×1)=9x^2+6

b) Найдем f'(х0)

f'(х0)=f'(1)=9×(1^2)+6=9+6=15

3) Найдем х-х0.

х-х0=х-1.

4) Подставляем полученные выражения в наше уравнение.

у=9+15×(х-1).

Раскроем скобки, умножив их на 15.

у=9+(15×х)-(15×1)=9-15х-15=15х-6

И тогда уравнение касательной к нашей функции в точке х=1 будет таким: у=15х-6.

Производные сложных функций.

Бывает когда необходимо найти производную функций, которые не совпадают с табличными значениями. Например, у=sin(3х-4) или же у=√(4х-3).

Такие функции называют сложными. Можно заметить, что данные функции словно сложены из двух простых. Например, у=√(4х-3) состоит из у=√х и у=4х-3.

Получается, что √х является нашей внешней частью, а 4х-3 внутренней.

Обозначим нашу внешнюю функцию u, а внутреннюю v. Тогда наша формула будет выглядеть так:                  у’=u(v)’×v’.

Значит, производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней.

Решим несколько задач.

Пример№1. Чему равна производная функции у=(4х+3)^4 ?

Вначале находим внешнюю и внутреннюю часть нашей функции.

u=х^4, v=4x+3.

1) Выходит: (х^4)’=4×(х)^3.

Вместо х подставляем 4x+3.

u(v)’=4×(4x+3)^3

2) v’=(4x+3)’=4

3) Тогда у’=((4х+3)^4)’=4×(4x+3)^3×4=16×(4x+3)^3.

Ответ: 16×(4x+3)^3.

Пример№2. Найдите производную сложной функции заданной уравнением у=sin(4x).

1) u=sinx

(sinx)’=cosx

u(v)’=cos(4x)

2) v=4x

v’=4x’=4 

3) y’=cos(4x)×4=4cos(4x)

Ответ: 4cos(4x). 

Практическая часть

Задание №1. Найдите производную функции у=13^х.

Решение. Это стандартное выражение, поэтому воспользуемся таблицей производных и сделаем вычисления. a^x=a^x×lna.

Получается у’=(13^х)’=13^x×ln13

Ответ: 13^x×ln13.

Задание №2. Чему равна производная функции, заданной уравнением у=3х+х^5-8х^2+3 ?

Решение. Используя таблицу №1 и правила дифференцирования, найдем производную.

у’=(3х+х^5-8х^2+3)’=(3х)’+(х^5)’-(8х^2)’+(3)’=3+5х^4-8×2х+0=3+5х^4-16х

Обычно принято записывать сперва переменные с х в наибольшей степени, после переменные с х в наименьшей степени, и только потом числа без х. Тогда у нас выйдет, что у’=5х^4-16х+3.

Ответ: 5х^4-16х+3.

Задание №3. Дана функция у=4соs(5x). Найдите ее производную.

Решение. Это сложная функция. Поэтому выделим вначале внешнюю и внутреннюю компоненты.

u=cosx

v=5x

Число 4 у нас выступает как константа. Поэтому согласно правилам дифференцирования мы можем сделать все вычисления и в конце просто полученное выражение умножить на 4.

(соsx)’=-sinx

Вместо х подставляем 5х. И выходит, что u'(v)=-sin(5x).

v’=(5x)’=5×x’=5×1=5

Теперь умножаем внешнюю функции на внутреннюю и на 4.

у’=4×(-sin(5x))×5=-20sin(5x)

Ответ: -20sin(5x).

Задание №4. Чему равняется производная функции, которая задана уравнение у=9х^2/9 ?

Решение. Воспользуемся данными из двух таблиц и найдем нужное нам значение.

(u/v)’=(u’×v — v’×u)/v^2.

у’=(2х^2/9)’=((2х^2)’×9 — 9’×2х^2)/9^2=(2х^2)’×9 — 9’×2х^2)/9^2=2×2х×9-0×2х^2/49=4х×9/49=4х/9

Ответ: 4х/9.

Задания по данному разделу, которые встречаются на ЕНТ 

Задания по данной теме есть только в профильной математике. Предлагаю рассмотреть и решить типы задач, которые могут встретиться в тестировании.

Задание №1. Дана функция у=√(-3х^4-7х-6). Найдите ее производную.

Решение. Поэтому выделим вначале внешнюю и внутреннюю функцию.

u=√x

v=-3х^4-7х-6

1) (√x)’=1/2√х

На место х ставим -3х^4-7х-6.

u'(v)=1/2√(-3х^4-7х-6)

2) v’=(-3х^4-7х-6)’=(-3х^4)’-(7х)’-(6)’=(-3×4х^3)-(7×1)-0=-12х^3-7

Помним, что у’=u(v)’×v’. Значит у’=1/2√(-3х^4-7х-6)×(-12х^3-7)=-12х^3-7/2√(-3х^4-7х-6).

Ответ: -12х^3-7/2√(-3х^4-7х-6).

Задание №2. Тело движется по закону S(t)=14t^2+3t-10. Найдите какой скоростью будет обладать тело на 3 секунде движения.

Решение. Применяем физический смысл производной — S’=V.

S(t)’=V(t)=(14t^2+3t-10)’=(14t^2)’+(3t)’-(10)’=(2×14x)+(3×1)-0=28t+3.

V(t)=28t+3

Вычисляем V(3).

V(3)=28×3+3=84+3=87.

Ответ: 87.

Задание №3. Точка движется по закону S(t)=t^3-2.5t^2+2t. Определение через сколько секунд скорость тела станет равна нулю.

Решение. Вновь воспользуемся тем, что физический смысл производной заключается в том, что S’=V.

S(t)’=V(t)=(t^3-2.5t^2+2t)’=(t^3)’-(2.5t^2)’+(2t)=(3×t^2)-(2×2.5t)+(2×1)=3t^2-5t+2

V(t)=3t^2-5t+2.

Приравниваем нашу скорость к нулю. V(t)=0, выходит, что 3t^2-5t+2=0.

Решаем данное уравнение.

D=(-5)^2-(4×2×3)=25-24=1=1^2

x1=5+1/2×3=6/6=1.

x2=5-1/2×3=4/6=2/3.

Ответ: 2/3, 1.

Задание №4. Найдите производную функции у=³√(5х^4-6х).

Решение. Это сложная, поэтому выделяем наши u и v.

u=³√х

v=5х^4-6х

Понимаем, что в таблице производных нет выражение по типу ³√х, поэтому представим корень третей степени, в виде степени 1/3. То есть ³√х=х^(1/3). Вот теперь мы можем делать вычисления, ведь знаем как находить производную х в какой-то степени: х^n=n×x^(n-1).

1) (х^(1/3))’=1/3×х^(1/3-1)=1/3×х^(1/3-3/3)=1/3×х^(-2/3).

Преобразуем х^(-2/3) в ³√(х^(-2)).

Получим ³√(1/х^2)=1/³√х^2.

Вместо х подставим 5х^4-6х.

u'(v)=1/³√(5х^4-6х)^2.

2) v’=(5х^4-6х)’=(5х^4)’-(6х)’=(4×5x^3)-(6×1)=20x^3-6

3) y’=1/³√(5х^4-6х)^2×(20x^3-6)=20x^3-6/³√(5х^4-6х)^2

Ответ: 20x^3-6/³√(5х^4-6х)^2.

Задание №5. Найдите точки, принадлежащую касательной, проведенной к графику функции у=х^2+6х-2 в точке х0=2.

А) (1;4)

B) (3;20)

C) (5;43)

D) (2;14)

Решение. Сперва мы найдем уравнение нашей касательной, а затем будем вместо нашего аргумента подставляем х из данных точек. И те значения функции, которые совпадут с у этих точек, и будут являться решением задачи.

1. f(x0)

f(x0)=f(2)=(2^2)+(6×2)-2=4+12-2=14

2. f'(x0)

a) f'(x)=(х^2+6х-2)’=(х^2)’+(6х)’-(2)’=(2×2)+)6×1)-0=2x+6

b) f'(x0)=f'(2)=2×2+6=4+6=10

3) х-х0

х-х0=х-2

4) у=14+10×(х-2)=14+10×х-10×2=14+10х-20=10×-6

у=10х-6

5) Подставляем х, находим у и сравниваем.

А) (1;4) х=1 у=4

у(1)=10×1-6=10-6=4

4=4

Точка принадлежит касательной.

B) (3;20) х=3 у=20

у(3)=10×3-6=30-6=24

20≠24

Точка не подходит.

C) (5;43) х=5 у=43

у(5)=10×5-6=50-6=44

43≠44

Точка не принадлежит касательной.

D) (2;14) х=2 у=14

у(2)=10×2-6=20-6=14

14=14

Точка подходит.

Ответ: А, D.

Задания для самопроверки:

Задание№1.

Чему равна производная функции у=10х^3-х^2+√х ?

Задание№2.

Найдите производную функции, заданной уравнение у=15sin(3x-2).

Задание№3.

Чему будет равно ускорение тела через 1 секунду, если оно движется по закону S(t)=0.5t^8-2t+t ?

Ответы: 1 — 30х^2-2х+1/2√х., 2 — 45cos(3x-2), 3 — 24.

Понравилась статья? Оцени:
Звёзд: 1Звёзд: 2Звёзд: 3Звёзд: 4Звёзд: 5
Загрузка...
Полезный материал? Поделись им со своими друзьями, пусть они тоже почитают
Я нашёл ошибку Если вы обнаружили ошибку, свяжитесь с нами с помощью короткой формы обратной связи
О чем эта статья: